Nombres complexes

Les nombres complexes prolongent les nombres réels. Dans l’ensemble des nombres réels, on peut faire la plupart des opérations usuelles : addition, soustraction, multiplication et division (sauf par zéro). On peut aussi prendre des racines carrées, mais seulement de nombres positifs ou nuls. C’est une faille : par exemple, quand on résout une équation du second degré et qu’on obtient un discriminant négatif. Ce sont les nombres complexes qui comblent cette faille.

Qu’est-ce qu’un nombre complexe ?

Un nombre complexe se distingue d’un nombre ordinaire surtout parce qu’il comporte deux parties : une partie réelle et une partie imaginaire. Un nombre complexe est un couple ordonné de nombres (x ; y), où le nombre x est la partie réelle et le nombre y la partie imaginaire. Si la partie réelle est nulle, on parle d’imaginaire pur. Les nombres x et y eux-mêmes sont réels.

L’ensemble des nombres complexes se note avec la lettre C majuscule : ℂ.

Égalité de deux nombres complexes : contrairement aux nombres ordinaires, les nombres complexes ont deux composantes. Pour que deux nombres complexes soient égaux, ils doivent donc être égaux composante par composante. Ces nombres complexes sont ainsi deux à deux différents : (2 ; 3) ≠ (0 ; 3) ≠ (2 ; 0). Les nombres complexes z₁ = (1 ; 2) et z₂ = (1 ; 2) sont égaux : z₁ = z₂.

Forme algébrique et unité imaginaire

On écrit plus souvent les nombres complexes sous forme algébrique, qui se présente ainsi. Le nombre complexe (x ; y) a pour forme algébrique x + iy, où i s’appelle l’unité imaginaire. Le carré de l’unité imaginaire vérifie une relation très importante :

$$i^2=-1$$

Cette égalité va servir très souvent, avec les autres puissances de i. Les puissances plus élevées se calculent en effet de la manière habituelle. Par exemple, pour simplifier i³, on peut, d’après les règles de calcul sur les puissances, le décomposer en i² · i. On sait déjà que i² vaut moins un. Le second i ne se décompose pas davantage, donc on obtient : i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

De même pour i⁴. On peut le décomposer en i² · i², avec i² = −1, donc on obtient : −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Ainsi i⁴ = 1. On peut utiliser ce fait pour calculer des puissances encore plus élevées de l’unité imaginaire. Par exemple, pour calculer i⁷, on le décompose en i⁴ · i³. On sait que i⁴ = 1, donc on obtient : 1 · i³. Et on sait que i³ = −i. Le résultat est : 1 · (−i) = −i.

Addition et multiplication

On peut additionner et multiplier des nombres complexes. Pour additionner deux nombres complexes z₁ et z₂, on additionne simplement séparément les parties réelles et les parties imaginaires :

$$z_1+z_2=(x_1+i{y}_1)+(x_2+i{y}_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$$

Exemple : z₁ = 3 + 7i et z₂ = 5 + 8i. La somme s’écrit : z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Le produit de deux nombres complexes est un peu plus compliqué, mais on peut le développer comme une multiplication ordinaire de parenthèses. La formule de base est la suivante :

$$z_1\cdot z_2=(x_1+i{y}_1)\cdot (x_2+i{y}_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$$

Comment y est-on arrivé ? On essaie de multiplier z₁ · z₂ exactement comme on multiplierait des parenthèses ordinaires. On obtient :

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+i{x}_1{y}_2+i{x}_2{y}_1+i^2{y}_1{y}_2$$

Comme i² = −1, le dernier terme devient, après simplification :

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+i{x}_1{y}_2+i{x}_2{y}_1-y_1{y}_2$$

Il ne reste plus qu’à regrouper les termes sans unité imaginaire et ceux qui en contiennent :

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$$

Exemple. Multiplions les nombres 5 + 6i et 4 + 7i. On obtient :

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Opposé, inverse et conjugué

• L’opposé du nombre complexe x + iy est −x − iy. Comme pour les nombres réels, on obtient l’opposé en multipliant le nombre complexe par moins un. Exemple : l’opposé de 2 + 7i est −2 − 7i. L’opposé de −5 + 8i est 5 − 8i, etc.

• L’inverse du nombre complexe x + iy est $\frac{1}{x+iy}$. L’inverse du nombre 4 − 2i est donc $\frac{1}{4-2i}$.

• Le conjugué du nombre x + iy est x − iy. On le note en général avec une barre : $\bar{z}$. C’est le nombre complexe conjugué du nombre complexe z. Le conjugué du nombre 2 + 9i est le nombre 2 − 9i.

Soustraction et division

Maintenant que l’opposé et l’inverse sont définis, on peut définir aussi la soustraction et la division. Pour soustraire deux nombres complexes, z₁ − z₂, on ajoute à z₁ l’opposé de z₂. En pratique, on obtient une formule simple :

$$z_1-z_2=(x_1+i{y}_1)-(x_2+i{y}_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$$

De même, la division z₁ / z₂ se ramène à une multiplication : on multiplie z₁ par l’inverse de z₂, c’est-à-dire par $\frac{1}{z_2}$.

Module

On calcule le module du nombre complexe z avec la formule :

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Dans la racine carrée, le second z est le conjugué de z.) Le sens de cette formule apparaît bien dans la représentation géométrique des nombres complexes.

Tout nombre complexe dont le module est égal à un s’appelle un nombre complexe de module 1. Exemples : 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Propriétés du module :

• Le module d’un nombre complexe est un nombre réel.
• |z| ≥ 0
• $|z|=|-z|=|\bar{z}|$, où $\bar{z}$ est le conjugué de z.