L’infini

L’infini est une notion abstraite qu’on ne peut en fait même pas s’imaginer. L’infini lui-même n’a pas de fin, d’où son nom, mais l’infini en général n’a pas non plus de début (on peut cependant le préciser : par exemple, une demi-droite est elle aussi infinie, mais elle a un début). L’infini s’écrit généralement avec le « huit couché » – ∞.

Calculer avec l’infini

L’infini ressemble en partie à zéro, qui est lui aussi particulier à bien des égards et obéit à des règles spéciales. Par exemple, on ne peut pas diviser par zéro, n’importe quel petit enfant le sait sans doute (au fait, tu connais cette blague ? Quelle est la meilleure excuse quand on n’a pas fait son devoir de maths ? « Madame, j’ai commencé à diviser par zéro sans faire exprès et mon cahier a pris feu… » ;o)).

De même que tout nombre multiplié par zéro donne zéro, tout nombre multiplié par l’infini, ou auquel on ajoute l’infini, donne l’infini. Si tu retires de l’infini un nombre aussi grand que tu veux, il te reste toujours l’infini. Pareil si tu essaies de diviser l’infini. L’infini est tout simplement si grand que, même si tu lui retires des millions chaque seconde, il te restera toujours l’infini. Parfois, c’est un peu difficile à comprendre ; prenons par exemple cette petite égalité : ∞ + 1 = ∞. Est-elle vraie ou fausse ?

La logique nous dit que le membre de gauche est plus grand : si j’ajoute un à l’infini, toute l’expression doit bien être plus grande que l’infini tout seul. Pas forcément :-). Comme je l’ai déjà dit, l’infini plus n’importe quoi donne l’infini. Donc l’infini plus un donne l’infini, et l’infini est égal à l’infini. L’égalité est vraie.

On peut aussi trouver un autre chemin, par les limites. Prenons la fraction 1/x et calculons la limite à droite quand x→0⁺, en supposant que notre cahier n’a pas pris feu. Cette limite serait égale à l’infini. Si tu ajoutes un à cette expression, tu obtiens l’expression (1+x)/x, et la limite quand x→0⁺ serait de nouveau l’infini.

Ça devient drôle quand on combine plusieurs infinis. Par exemple, à quoi est égale l’expression infini moins infini ? La logique nous dit qu’on soustrait deux nombres de même grandeur, donc le résultat sera zéro. J’ai aussi dit que si on retire n’importe quel nombre de l’infini, le résultat est de nouveau l’infini. Et inversement, si on retire l’infini de n’importe quel nombre, on obtient moins l’infini. Alors, comment s’en sortir ? Tous les résultats sont en théorie possibles. Les mathématiques disent que l’expression ∞ −∞ n’est égale à rien de précis : c’est une expression indéfinie, une forme indéterminée. C’est un cas analogue à celui où on essaie de diviser par zéro : cela n’a tout simplement pas de sens. Si tu tombes sur une telle forme indéterminée, il faut transformer l’expression d’une façon ou d’une autre (pour certains types de formes indéterminées, on peut utiliser par exemple la règle de L’Hôpital).

Autres formes indéterminées :

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Au fait, les opérations de base avec les signes restent valables : par exemple, −1 · ∞ est égal à moins l’infini.

Tu veux devenir fou ?

Alors lance-toi dans la théorie des ensembles et calcule quel ensemble est le plus grand. Par exemple, y a-t-il plus de nombres pairs ou de nombres impairs ? De pairs ou d’entiers naturels ? D’entiers naturels ou d’entiers relatifs ? De pairs ou d’entiers relatifs ? D’entiers naturels ou de rationnels ? La réponse, c’est que tous ces ensembles ont la même taille. Même si cela peut sembler étrange (il doit bien y avoir plus d’entiers relatifs que de nombres impairs), ce sont des ensembles de même taille. En revanche, l’ensemble des nombres réels est plus grand que tous ceux qu’on vient de citer. Bon courage pour t’y retrouver ;-)