Compléter le carré

Grâce à la méthode de complétion du carré, on peut écrire une fonction polynôme du second degré ax² + bx + c sous la forme (x + m)² + n.

Algorithme de complétion du carré

L’algorithme utilise la formule classique du carré d’une somme :

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Voici la marche à suivre. Pour l’instant, supposons que a = 1. Imaginons que nous ayons la fonction du second degré f(x) = x² + 6x + 1 et que nous voulions la transformer en la forme (x + m)² + n. Déterminons d’abord les valeurs de la première parenthèse : (x + m)². Quel nombre faut-il mettre à la place de m ? D’après la formule, on doit avoir l’égalité (x + m)² = x² + 2mx + m². Dans la fonction f, nous avons x², c’est bon. Mais à la place du terme du premier degré, nous avons 6x. Quelle valeur faut-il choisir pour m afin que 6x = 2mx ? Il faut manifestement que m = b/2 = 6/2 = 3. Pour m, on prend donc toujours la moitié du nombre b de la fonction du second degré.

Nous avons ainsi obtenu la forme (x + 3)² + n. Il reste à déterminer le nombre n. Nous savons déjà que (x + m)² = x² + 2mx + m². La partie x² + 2mx est celle qu’on veut, mais l’expression m² est en trop, il n’y a pas d’équivalent dans la fonction f. Nous retranchons donc m² du résultat actuel. On obtient ainsi la forme (x + m)² − m², qui, après développement, est égale à x² + 2mx + m² − m². Après soustraction, il ne reste donc que x² + 2mx.

Mais dans la fonction f, nous avons encore le terme constant c. Nous l’ajoutons simplement. On obtient ainsi la forme (x + m)² − m² + c, après développement x² + 2mx + m² − m² + c et après simplification x² + 2mx + c. Comme m = b/2, cette expression est égale à x² + bx + c : en développant l’expression (x + m)² − m² + c, on retrouve donc la fonction de départ, nous avons bien calculé. (Je le répète, ici a = 1 : rien n’a donc été oublié.)

Pour la fonction d’exemple f, on obtient ainsi l’expression sous forme de carré (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Nous pouvons essayer de la redévelopper :

$$\begin{array}{rcl}(x+3{)}^2-8& =& x^2+6x+9-8\\ & =& x^2+6x+1\end{array}$$

La méthode de complétion du carré sert par exemple quand on veut tracer la courbe d’une fonction du second degré.

Quand a ≠ 1

Dans le cas où la fonction ne vérifie pas a = 1, on procède ainsi : on met en facteur le nombre a dans toute la fonction et on continue comme on sait déjà le faire. Exemple :

$$2x^2+16x-12=0$$

On met le deux en facteur dans toute l’expression :

$$2\cdot (x^2+8x-6)=0$$

Nous savons déjà transformer en carré l’expression à l’intérieur de la parenthèse.

$$x^2+8x-6=(x+4{)}^2-16-6=(x+4{)}^2-22$$

Nous reportons ce résultat dans l’équation précédente et obtenons ainsi :

$$2\cdot (x^2+8x-6)=2((x+4{)}^2-22)=2(x+4{)}^2-44$$