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Entiers relatifs

Les entiers relatifs sont les nombres sans partie décimale : ils contiennent les entiers naturels, leurs opposés (les entiers négatifs) et zéro.

Propriétés

Des nombres qui volent

Les entiers relatifs forment un ensemble qui contient les nombres …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … On note généralement cet ensemble avec la lettre Z dont la barre du milieu est doublée : ℤ, de l’allemand « Zahlen » (nombres). Les entiers relatifs forment un ensemble infini et dénombrable.

Les entiers relatifs ont par exemple les propriétés suivantes :

  1. Ils sont stables par addition et par multiplication, comme les entiers naturels. Cela signifie que si l’on additionne deux entiers relatifs, on obtient encore un entier relatif.
  2. Contrairement aux entiers naturels, les entiers relatifs sont aussi stables par soustraction. Les entiers naturels ne l’étaient pas, car la différence de deux entiers naturels pouvait être un nombre négatif. Ici cela ne gêne pas, puisque les entiers relatifs contiennent les nombres négatifs.
  3. Comme les entiers naturels, ils ne sont pas stables par division. Une division peut en effet donner un nombre qui n’est pas entier.
  4. Pour tout entier relatif c, il existe un nombre opposé −c. Si l’on a le nombre 10, son opposé est −10. Pour 55, c’est −55. Et de même pour les nombres négatifs : l’opposé de −13 est 13. Si l’on a un entier relatif c et son opposé −c, leur somme vaut zéro : c + (−c) = 0. L’opposé de zéro est donc zéro lui-même.

Nombres pairs et impairs

Les entiers relatifs se répartissent en nombres pairs et nombres impairs. Les nombres pairs sont ceux qui sont divisibles par 2, c’est-à-dire 2, −4, −8, 40, 124, etc. Les nombres impairs ont pour reste 1 dans la division par 2 : ce sont les nombres −1, 1, 5, 19, −41, etc. Remarque que la parité concerne aussi les nombres négatifs (le nombre −5 est bien impair) et que zéro est un nombre pair.

Propriétés pour l’addition : si l’on additionne deux nombres pairs, on obtient encore un nombre pair. Le tableau suivant donne les autres cas :

pair+pair=pairpair+impair=impairimpair+impair=pair

Un tableau semblable pour la multiplication :

pair⋅pair=pairpair⋅impair=pairimpair⋅impair=impair

Division euclidienne

Dans l’ensemble des entiers relatifs aussi, on peut définir la division euclidienne, comme pour les entiers naturels, à condition de bien gérer les nombres négatifs. La définition de base s’écrit donc cette fois ainsi :

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

Dans cette expression, nous divisons a:b ; le nombre q est le quotient et le nombre r le reste de la division. Le nombre b doit être différent de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. Le reste doit être positif ou nul et strictement inférieur à la valeur absolue de b, ce qui garantit que le quotient et le reste sont uniques.

À quoi ressemblerait une telle division ? Essayons de diviser −21:4. Les nombres s’écriraient ainsi :

−21=−6⋅4+3

Le quotient est −6 et le reste est 3. Cela peut te surprendre que le quotient soit différent de celui que l’on aurait avec des nombres tous positifs :

21=5⋅4+1

Ici, le quotient serait 5 et le reste 1. La différence vient justement des nombres négatifs. Avec des nombres positifs, on cherche d’abord le plus grand multiple de 4 qui ne dépasse pas 21. C’est 20. On divise donc 20:4 = 5 et on obtient notre 5. Le reste s’obtient ensuite par la différence 21 − 20.

Avec les nombres négatifs, on procède de la même manière. On cherche le plus grand multiple de 4 qui ne dépasse pas −21. Or −20 est plus grand que −21. Le plus grand multiple de 4 qui ne dépasse pas −21 est donc −24. Le reste s’obtient de nouveau par la différence −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

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