Bázistranszformáció mátrixa

Ha van egy V vektorterünk és két bázisa, a tér egy vektorát mindkét bázis vektorainak kombinációjaként kifejezhetjük. A bázistranszformáció mátrixa segít az egyik kifejezést átalakítani a másikra.

Miért van rá szükség

Legyen adott egy n-dimenziós V vektortér és két különböző bázisa, E = {e₁, …, e_n} és F = {f₁, …, f_n}. Továbbá válasszunk a V térből valamilyen x vektort. Mivel az x a V térből való, és mivel az E és az F is e tér bázisa, léteznie kell olyan a₁, …, a_n együtthatóknak, hogy:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

és egyúttal léteznie kell olyan b₁, …, b_n együtthatóknak, hogy:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Az első esetben az x vektort az E bázissal fejezzük ki, a másodikban az F bázissal. Két különböző bázist használunk az x kifejezésére, így két különböző együtthatósorozatot kapunk, az a_i-ket és a b_i-ket. Felmerül a kérdés: ha ismerjük a b_i együtthatókat, van-e valamilyen módszer, amellyel ezekből megkapjuk az a_i együtthatókat, vagyis a másik bázisra vonatkozó kifejezést?

Igen, erre szolgál az ún. bázistranszformáció mátrixa.

Hogyan kapjuk meg a bázistranszformáció mátrixát

Maradunk annál, hogy adott a V tér és két bázisa, E = {e₁, …, e_n} és F = {f₁, …, f_n}. Mivel az E a V tér bázisa, biztosan az f₁, …, f_n vektorok mindegyike is kifejezhető az E bázis vektorainak lineáris kombinációjaként. Az f₁, …, f_n vektorok ugyan az F bázis részei, egyúttal azonban a V tér közönséges elemei is, tehát igaznak kell lennie:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Ezeket az egyenleteket most mátrixba írjuk át úgy, hogy a mátrix első oszlopában az $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$ vektor együtthatói legyenek, azaz az a_i1-ek, a másodikban az $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$ vektor együtthatói, azaz az a_i2-ek, és így tovább. A következő mátrixot kapjuk:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Az ilyen mátrixot nevezzük az E bázisról az F bázisra való áttérés mátrixának. Ha van egy x = (x₁; …; x_n) vektorunk a V térből, amelynek az F bázisra vonatkozó együtthatói b₁, …, b_n, akkor az E bázisra vonatkozó a₁, …, a_n együtthatókat így kapjuk meg:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Példa

Az ℝ³ vektortérben dolgozunk. Az egyik bázis legyen a standard bázis, E = {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}, a másik bázis pedig F = {(2; 0; 0), (3; 2; 0), (1; 5; 4)}. Az E bázisról az F bázisra való áttérés mátrixa

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Most válasszunk egy tetszőleges x ∈ ℝ³ vektort, például az x = (12; 41; 28) vektort. Ennek az F bázisra vonatkozó együtthatói b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Elvégezzük tehát a mátrixok szorzását:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Az E bázishoz képest az x vektor együtthatói a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Tehát igaz:

$$(12;41;28)=12\cdot (1;0;0)+41\cdot (0;1;0)+28\cdot (0;0;1)$$