Distribusi binomial

Bayangkan sebuah tes dengan lima soal. Setiap soal mempunyai empat pilihan jawaban dan tepat satu di antaranya benar. Kamu sama sekali tidak belajar untuk tes ini, jadi pada setiap soal kamu hanya menebak. Berapa peluang kamu menjawab benar tepat dua soal? Untuk soal seperti inilah distribusi binomial digunakan.

Dengan satu soal saja, perhitungannya sangat mudah. Dari empat pilihan, satu benar, jadi peluang menebak benar adalah $\frac{1}{4}$ dan peluang menebak salah adalah $\frac{3}{4}$. Masalahnya, ada lima soal, dan kita ingin dua soal dijawab benar dan tiga soal salah.

Satu urutan tertentu

Pertama kita perhatikan satu urutan tertentu. Misalkan dua soal pertama kita jawab benar dan tiga soal sisanya salah. Kita tulis sebagai SSGGG, dengan S berarti sukses, yaitu jawaban benar, dan G berarti gagal, yaitu jawaban salah.

Soal-soal itu tidak saling memengaruhi. Menjawab benar soal pertama sama sekali tidak membantu atau merugikan soal kedua. Jadi, peluang setiap soal dapat kita kalikan:

$$P(\text{SSGGG})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Faktor yang berulang kita tulis sebagai pangkat:

$$P(\text{SSGGG})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Kita pangkatkan:

$$P(\text{SSGGG})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Namun, ini baru satu kemungkinan. Dua jawaban benar juga dapat muncul dalam urutan SGSGG, GGGSS, dan seterusnya. Setiap urutan seperti itu mempunyai peluang yang sama, yaitu $\frac{27}{1024}$, karena di dalamnya juga ada dua faktor $\frac{1}{4}$ dan tiga faktor $\frac{3}{4}$, hanya dalam urutan yang lain, dan pada perkalian urutan faktor tidak berpengaruh.

Lalu, ada berapa urutan seperti itu? Dari lima soal kita memilih dua soal yang dijawab benar, dan urutan pemilihannya tidak diperhatikan. Inilah tepatnya kombinasi:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Jadi, ada sepuluh urutan yang berbeda dan masing-masing mempunyai peluang $\frac{27}{1024}$. Urutan-urutan itu saling lepas, sehingga peluangnya kita jumlahkan, atau dengan kata lain kita kalikan sepuluh:

$$P(\text{tepat dua benar})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Jadi, jika hanya menebak, kamu menjawab benar tepat dua soal dengan peluang sekitar 26%. Godaannya adalah menghitung ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ saja dan melupakan kesepuluh urutan itu. Hasilnya akan sepuluh kali lebih kecil daripada yang seharusnya.

Rumus

Cara yang sama berlaku untuk berapa pun banyak soal dan berapa pun peluangnya. Secara umum, setiap soal disebut percobaan dan setiap jawaban benar disebut sukses. Banyak sukses kita nyatakan sebagai variabel acak X, dan distribusi binomial adalah distribusi peluang dari variabel ini. Jika kamu hanya mencari rumusnya: peluang bahwa dari n percobaan tepat k yang sukses dihitung dengan

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

dengan p peluang sukses pada satu percobaan. Pangkat p^k sesuai dengan k sukses, pangkat (1 − p)^{n − k} sesuai dengan n − k kegagalan sisanya, dan koefisien binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ menyatakan dalam berapa urutan hal itu dapat terjadi.

Tes kita mempunyai n = 5, k = 2, dan $p=\frac{1}{4}$. Kita substitusikan:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Hasilnya sama seperti tadi. Rumus ini sebenarnya hanya cara singkat menuliskan langkah-langkah pada bagian sebelumnya.

Perhatikan bahwa rumus ini hanya boleh dipakai dengan syarat tertentu. Empat hal harus dipenuhi:

• banyak percobaan n sudah ditentukan sebelumnya,
• percobaan-percobaannya saling bebas,
• pada semua percobaan peluang sukses p sama,
• setiap percobaan hanya mempunyai dua hasil: sukses atau gagal.

Menebak jawaban tes memenuhi keempat syarat itu. Namun, begitu kamu mengetahui jawaban beberapa soal, peluang sukses akan berbeda dari soal ke soal, dan rumus ini tidak berlaku lagi.

Paling sedikit

Dalam praktik, kita sering tidak tertarik pada “tepat dua”, tetapi pada “paling sedikit satu”. Berapa peluang kita menebak benar paling sedikit satu soal? Kita bisa menghitung P(X = 1), P(X = 2) sampai P(X = 5), lalu menjumlahkan semuanya. Cara yang lebih cepat adalah lewat komplemen kejadian. Kebalikan dari “paling sedikit satu benar” adalah “semua salah”. Tidak menjawab benar satu soal pun berarti salah lima kali berturut-turut:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Hasilnya kita kurangkan dari satu:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Paling sedikit satu soal kita jawab benar dengan peluang sekitar 76%. Kedengarannya menjanjikan, tetapi dengan satu jawaban benar dari lima, kamu tidak akan lulus tes.

Misalkan untuk lulus tes diperlukan paling sedikit tiga jawaban benar. Komplemen tidak membantu di sini, karena komplemennya juga terdiri atas tiga suku. Jadi, ketiga kasus kita jumlahkan secara langsung. Pertama, tiga jawaban benar:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Empat jawaban benar:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Terakhir, kelima jawaban benar:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Kita jumlahkan:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Dengan menebak, kita lulus tes dengan peluang sekitar 10%. Jadi, belajar tetap ada gunanya.

Jika dengan rumus yang sama kita hitung juga $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, kita mempunyai keenam kemungkinan dan dapat menggambarnya. Di atas setiap batang tertulis pembilang pecahan, sedangkan penyebutnya selalu 1.024. Batang merah di sebelah kanan garis putus-putus sesuai dengan kasus ketika kita lulus tes:

Sekarang kita dapat memeriksa apakah perhitungan kita benar. Semua pembilang harus berjumlah 1.024, karena salah satu banyak jawaban benar pasti terjadi:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Cocok. Grafik juga menunjukkan bahwa yang paling sering terjadi adalah satu jawaban benar. Rata-rata kita menjawab benar $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ soal, tepat seperti yang kita harapkan: seperempat dari lima.