Phân bố nhị thức

Xét một bài kiểm tra gồm 5 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phương án, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Bạn hoàn toàn không ôn bài, nên ở mỗi câu chỉ đoán bừa. Xác suất để bạn đoán trúng đúng 2 câu là bao nhiêu? Phân bố nhị thức dùng chính cho những bài toán như vậy.

Nếu chỉ có 1 câu hỏi thì rất dễ. Trong 4 phương án có 1 phương án đúng, nên ta đoán đúng với xác suất $\frac{1}{4}$ và đoán sai với xác suất $\frac{3}{4}$. Cái khó là có 5 câu hỏi và ta muốn 2 câu đúng, 3 câu sai.

Một thứ tự cụ thể

Trước hết ta xét một thứ tự cụ thể. Giả sử ta đoán đúng 2 câu đầu và sai 3 câu còn lại. Ta viết điều này là ĐĐSSS, trong đó Đ là thành công, tức là trả lời đúng, còn S là thất bại, tức là trả lời sai.

Các câu hỏi độc lập với nhau: việc đoán đúng câu thứ nhất không giúp ích cũng không gây hại gì cho câu thứ hai. Vì vậy có thể nhân xác suất của từng câu:

$$P(\text{ĐĐSSS})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Gộp các thừa số lặp lại thành luỹ thừa:

$$P(\text{ĐĐSSS})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Tính luỹ thừa:

$$P(\text{ĐĐSSS})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Nhưng đây chỉ là một trong các khả năng. Hai câu trả lời đúng cũng có thể xuất hiện theo thứ tự ĐSĐSS, SSSĐĐ, v.v. Mỗi thứ tự như vậy có cùng xác suất $\frac{27}{1024}$, vì trong đó lại có 2 lần $\frac{1}{4}$ và 3 lần $\frac{3}{4}$, chỉ khác thứ tự, mà khi nhân thì thứ tự các thừa số không quan trọng.

Vậy có bao nhiêu thứ tự như thế? Từ 5 câu hỏi ta chọn ra 2 câu sẽ đúng, và không quan trọng chọn theo thứ tự nào. Đó chính là tổ hợp:

$${\mathrm{C}}_5^2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Như vậy có 10 thứ tự khác nhau và mỗi thứ tự có xác suất $\frac{27}{1024}$. Các thứ tự này xung khắc với nhau, nên ta cộng các xác suất lại, tức là nhân với 10:

$$P(\text{trúng đúng 2 câu})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Vậy khi đoán bừa, xác suất đoán trúng đúng 2 câu vào khoảng 26%. Ta dễ nghĩ chỉ cần tính ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ mà quên mất 10 thứ tự kia. Khi đó kết quả sẽ nhỏ hơn kết quả đúng 10 lần.

Công thức

Cách làm trên áp dụng được cho số câu hỏi bất kì và xác suất bất kì. Tổng quát, mỗi câu hỏi gọi là một phép thử, còn trả lời đúng gọi là thành công. Gọi số lần thành công là biến ngẫu nhiên X; khi đó phân bố nhị thức là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên này. Nếu bạn chỉ cần công thức: xác suất để trong n phép thử có đúng k lần thành công tính theo công thức

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

trong đó p là xác suất thành công trong một phép thử. Luỹ thừa p^k ứng với k lần thành công, luỹ thừa (1 − p)^{n − k} ứng với n − k lần thất bại còn lại, còn số tổ hợp ${\mathrm{C}}_n^k$ cho biết điều đó có thể xảy ra theo bao nhiêu thứ tự.

Bài kiểm tra của ta có n = 5, k = 2 và $p=\frac{1}{4}$. Thay vào:

$$P(X=2)={\mathrm{C}}_5^2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Kết quả giống như trước: thực ra công thức chỉ là cách viết gọn của cách làm ở mục trước.

Chú ý, công thức chỉ dùng được trong những điều kiện nhất định. Phải thoả mãn 4 điều sau:

• số phép thử n cho trước,
• các phép thử độc lập với nhau,
• trong mọi phép thử, xác suất thành công p như nhau,
• mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả: thành công hoặc thất bại.

Việc đoán bừa trong bài kiểm tra thoả mãn cả 4 điều kiện. Nhưng nếu ở một số câu bạn biết đáp án thì xác suất thành công sẽ khác nhau giữa các câu và công thức không còn đúng.

Ít nhất

Trong thực tế ta thường không quan tâm đến “đúng hai”, mà quan tâm đến “ít nhất một”. Xác suất để đoán bừa mà đúng ít nhất 1 câu là bao nhiêu? Có thể tính P(X = 1), P(X = 2) cho đến P(X = 5) rồi cộng tất cả lại. Cách nhanh hơn là dùng biến cố đối. Biến cố đối của “ít nhất một câu đúng” là “tất cả đều sai”. Không đoán đúng câu nào nghĩa là đoán sai 5 lần liên tiếp:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Lấy 1 trừ đi kết quả này:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Xác suất đoán đúng ít nhất 1 câu vào khoảng 76%. Nghe có vẻ khả quan, nhưng chỉ đúng 1 câu trong 5 câu thì không thể qua bài kiểm tra.

Giả sử để qua bài kiểm tra cần ít nhất 3 câu trả lời đúng. Ở đây biến cố đối không giúp được gì, vì nó cũng gồm 3 số hạng, nên ta cộng trực tiếp 3 trường hợp. Trước hết là 3 câu đúng:

$$P(X=3)={\mathrm{C}}_5^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

4 câu đúng:

$$P(X=4)={\mathrm{C}}_5^4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Cuối cùng là cả 5 câu đều đúng:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Cộng lại:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Như vậy đoán bừa thì qua bài kiểm tra với xác suất khoảng 10%. Vậy là ôn bài vẫn có ích.

Tính thêm $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ bằng cùng công thức, ta có đủ cả 6 khả năng và có thể vẽ biểu đồ. Phía trên mỗi cột là tử số của phân số, mẫu số luôn là 1024. Các cột màu đỏ bên phải đường nét đứt ứng với các trường hợp qua bài kiểm tra:

Bây giờ có thể kiểm tra xem ta có tính nhầm không. Tổng các tử số phải bằng 1024, vì chắc chắn sẽ xảy ra một số câu trả lời đúng nào đó:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Khớp. Biểu đồ cũng cho thấy trường hợp hay gặp nhất là đúng 1 câu. Trung bình ta đoán đúng $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ câu, đúng như dự đoán: một phần tư của 5.