Peluang bersyarat

Ketika menghitung peluang, kita dapat menambahkan syarat tambahan pada percobaan acak. Soal klasik tentang peluang bersyarat misalnya seperti ini: tiga dadu dilempar. Jika pada salah satu dadu muncul mata dadu tiga, berapa peluang jumlah mata ketiga dadu sama dengan tujuh?

Penurunan rumus

Misalkan diberikan suatu percobaan acak (misalnya pelemparan dadu) dan dua kejadian berbeda A dan B sehingga P(B) ≠ 0, artinya kejadian B bukan kejadian mustahil. Kita berbicara tentang peluang bersyarat jika bertanya: berapa peluang kejadian A jika kejadian B sudah terjadi? Peluang ini ditulis P(A|B).

Mari kita cari rumus untuk menghitung peluang bersyarat langkah demi langkah. Agar sederhana, bayangkan dadu bidang empat, yaitu dadu yang hanya dapat menunjukkan angka 1, 2, 3, atau 4. Kita coba selesaikan soal berikut: dua dadu bidang empat dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu yang muncul sama dengan enam jika paling sedikit pada salah satu dadu muncul mata dadu kurang dari tiga?

Kita mulai dengan menuliskan semua kemungkinan hasil dua dadu bidang empat. Seluruhnya ada 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Seperti apa kejadian A dan B? Kejadian A adalah “jumlah mata kedua dadu sama dengan enam”, dan kejadian B adalah “paling sedikit pada salah satu dadu muncul mata dadu kurang dari tiga”. Kita ingin mengetahui peluang bersyarat P(A|B), yaitu peluang kejadian A terjadi jika kita tahu bahwa kejadian B sudah terjadi. Pertama-tama, dari daftar di atas kita ambil hanya pasangan yang juga termasuk kejadian B, yaitu pasangan yang paling sedikit satu angkanya kurang dari tiga. Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Himpunan ini pada dasarnya dapat kita pandang sebagai himpunan semua hasil yang mungkin. Sebenarnya pada kedua dadu bisa saja muncul dua mata dadu empat, tetapi dengan syarat tambahan B kita menyatakan bahwa hasil seperti itu tidak kita perhatikan. Kita hanya memperhatikan hasil yang paling sedikit pada salah satu dadunya muncul mata dadu kurang dari tiga.

Sekarang kita tinggal bertanya: berapa peluang kejadian A terjadi jika himpunan semua hasil sama dengan himpunan B? Peluang bersyarat tidak mengatakan apa-apa lagi selain itu. Jadi, dalam himpunan B ini kita cari pasangan yang jumlahnya enam:

$$(2,4),(4,2)$$

Bagaimana sekarang kita menghitung peluangnya? Ada 2 hasil yang mendukung, dan banyak semua hasil sama dengan banyak anggota himpunan B, yaitu 12. Jadi, peluang bersyaratnya adalah

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Sekarang kita perumum. Kita sudah mengatakan bahwa himpunan B dapat dipandang sebagai himpunan semua hasil yang mungkin. Lalu, seperti apa himpunan semua hasil yang mendukung? Himpunan itu berisi hasil-hasil yang termasuk A (kejadian yang kita perhatikan) dan sekaligus termasuk B (syarat yang membatasi kita). Dengan kata lain, ada satu kemungkinan lagi agar dua dadu bidang empat berjumlah 6, yaitu jika pada keduanya muncul mata dadu tiga. Namun, dalam kasus kita hasil ini tidak memenuhi syarat B: paling sedikit satu angka kurang dari tiga. Karena itu, hasil ini tidak termasuk hasil yang mendukung. Jadi, himpunan hasil yang mendukung sama dengan A ∩ B, yaitu irisan kedua kejadian. Jika semuanya kita gabungkan, diperoleh rumus:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Dari rumus ini terlihat mengapa kita mengasumsikan P(B) ≠ 0. Jika syarat ini tidak dipenuhi, kita akan membagi dengan nol, dan bisa-bisa tercipta lubang hitam.

Rumus di atas berlaku jika kita memakai definisi klasik peluang, yaitu ketika semua titik sampel berpeluang sama. Rumus ini dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Contoh soal

1. Dua dadu, satu hitam dan satu putih, dilempar. Berapa peluang muncul mata dadu empat pada dadu putih jika jumlah mata kedua dadu sama dengan tujuh? Kita uraikan: kejadian A adalah “pada dadu putih muncul mata dadu empat”, kejadian B (syarat) adalah “jumlahnya sama dengan tujuh”. Kejadian B memuat semua pasangan mata dadu yang berjumlah 7, yaitu B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Sekarang kita tentukan A ∩ B, yaitu pasangan mana dari B yang juga termasuk A, atau dengan kata lain, pada pasangan mana dadu putih menunjukkan mata empat. Misalkan pasangan ditulis dalam bentuk (hitam, putih). Jadi, satu-satunya pasangan yang termasuk A ∩ B adalah (3, 4). Sekarang tinggal kita substitusikan ke rumus:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$