Peluang menebak Eurojackpot

Eurojackpot adalah lotre angka yang diikuti beberapa negara Eropa. Hadiah utamanya paling sedikit sepuluh juta euro dan paling banyak 120 juta euro. Aturannya mirip dengan undian 6 dari 49.

Aturan

Tujuan permainan ini adalah menebak lima nomor yang keluar dari 50 nomor yang mungkin, ditambah dua nomor tambahan dari 12 nomor. Jika ketujuh nomor itu ditebak dengan tepat, peserta mendapat hadiah utama, yaitu Eurojackpot. Jika yang ditebak dengan tepat lebih sedikit, ada hadiah pada tingkatan yang lebih rendah. Pada tahun 2015, misalnya, pernah ada pemenang hadiah utama di Republik Ceko.

Peluang menebak Eurojackpot

Lalu, berapa sebenarnya peluang menebak dengan tepat? Kita mulai dengan menghitung banyak semua kombinasi yang dapat keluar. Kita tahu bahwa tidak ada nomor yang dapat keluar dua kali dan bahwa urutan keluarnya nomor tidak diperhatikan. Artinya, untuk menghitungnya kita tidak dapat memakai permutasi k dari n unsur, tetapi harus memakai kombinasi. Jadi, pertanyaannya: ada berapa kelompok lima nomor berbeda yang dapat keluar dari 50 nomor yang mungkin? Kita tulis dengan koefisien binomial seperti ini:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Rumus untuk menghitung koefisien binomial ini seperti ini:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dengan tanda seru menyatakan faktorial. Jika nilai-nilainya kita substitusikan, diperoleh:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Dengan sifat faktorial, pembilangnya kita uraikan:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Terlihat bahwa baik di pembilang maupun di penyebut ada 45!. Jadi, seluruh pecahan dapat kita sederhanakan dengan mencoret 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Kita uraikan 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Semuanya kita kalikan:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254.251.200}{120}$$

Sekarang tinggal kita bagi:

$$\frac{254.251.200}{120}=2.118.760$$

Jadi, seluruhnya ada 2.118.760 kelompok lima nomor berbeda yang dapat keluar dari lima puluh nomor yang berbeda. Peluang kita menebak dengan tepat kelima nomor yang keluar, sebut saja P₁, adalah kebalikannya, yaitu

$$P_1=\frac{1}{2.118.760}$$

Sekarang kita harus menghitung berapa banyak pasangan berbeda yang dapat keluar dari 12 nomor, agar kita dapat menghitung peluang menebak dengan tepat juga nomor tambahannya. Kita tulis lagi sebagai koefisien binomial:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Kali ini langkah perhitungannya kita lewati. Kita dapat memakai kalkulator kombinasi dan mendapatkan hasil

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Jadi, ada 66 pasangan yang berbeda. Peluang kita menebak dengan tepat pasangan yang keluar, sebut saja P₂, adalah

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Peluang total P untuk mendapat hadiah utama Eurojackpot diperoleh dengan mengalikan kedua peluang ini:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2.118.760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139.838.160}$$

Kesempatan mendapat hadiah utama Eurojackpot adalah 1 banding 139.838.160. Sebagai gambaran, Republik Ceko berpenduduk sedikit di atas sepuluh juta orang. Agar pasti ada orang Ceko yang mendapat hadiah utama, setiap penduduk Ceko harus membeli 13 tiket dengan kombinasi yang berbeda-beda. Setelah pengundian, barulah pasti bahwa salah satu tiket dari Ceko adalah tiket pemenang.