Distribusi peluang

Distribusi peluang suatu variabel acak menunjukkan berapa peluang variabel acak itu bernilai tertentu.

Distribusi variabel diskrit

Misalkan kita mempunyai suatu variabel acak diskrit. Contohnya, kita bisa mencatat berapa gelas es teh yang diminum Pak Agus, penggemar berat es teh di kampung kita, setiap hari. Setelah mengamati Pak Agus selama satu bulan penuh, kita menyusun tabel berikut:

Terlihat bahwa pada awal bulan Pak Agus masih sedikit menahan diri, tetapi kemudian ia menghabiskan gelas demi gelas. Minggu mulai hari ke-11 pasti sangat panas. Variabel acak diskrit ini kita lambangkan dengan X. Sekarang kita ingin mengetahui berapa peluang Pak Agus meminum tepat x gelas es teh pada suatu hari dalam bulan itu.

Sebelum menghitung peluangnya, kita buat dulu diagram frekuensi biasa. Kita cari banyak gelas es teh yang diminum Pak Agus setiap hari, lalu kita masukkan ke dalam diagram frekuensi. Misalnya, sepuluh gelas diminum Pak Agus sebanyak sembilan kali, sehingga untuk nilai sepuluh gelas kita mempunyai batang setinggi sembilan:

Cara membaca diagram ini: Pak Agus minum enam gelas es teh pada tiga hari dalam bulan itu.

Berapa peluang Pak Agus minum sepuluh gelas es teh dalam sehari? Secara formal, fungsi peluang kita lambangkan dengan P, dan pertanyaan tentang sepuluh gelas kita tulis sebagai P(X = 10). Artinya, berapa peluang variabel acak X bernilai sepuluh?

Peluang ini sama dengan frekuensi relatif nilai tersebut. Jadi, kita buat juga diagram frekuensi relatif:

Sekarang kita bisa mengatakan bahwa P(X = 10) sama dengan 0,3, yaitu 30%.

Peluang empiris dan peluang teoretis

Sebagai contoh, ambil sebuah dadu biasa. Kita coba melemparnya 600 kali. Menurut peluang teoretis klasik, peluang munculnya mata dadu satu, dua, …, enam sama besar. Setiap sisi dadu mempunyai peluang muncul $\frac{1}{6}$. Secara teori, jika dadu dilempar enam ratus kali, setiap sisi seharusnya muncul tepat seratus kali.

Tentu saja hal itu kemungkinan besar tidak terjadi. Dalam percobaan kita, hasilnya bisa saja seperti ini:

Terlihat bahwa frekuensi relatif, dan juga peluang, munculnya mata dadu satu adalah 0,175, yaitu 17,5%. Nilai ini memang dekat dengan peluang $\frac{1}{6}$, yaitu 0,16666…, tetapi tidak persis sama.

Ini tidak berarti salah satu peluang tersebut keliru. Membuat dadu yang seimbang sempurna sama sekali tidak mudah, dan melakukan percobaan melempar dadu 600 kali pun bisa jadi sulit.

Peluang teoretis berlaku dalam kondisi ideal, yaitu jika dadu dilempar terus-menerus tanpa henti. Makin lama dadu yang seimbang sempurna dilempar, makin dekat frekuensi relatif setiap mata dadu dengan peluang teoretisnya.

Karena itu, kita membedakan dua jenis peluang: peluang teoretis, yang didasarkan pada kondisi ideal, dan peluang empiris, yang kita hitung dari frekuensi relatif data kita.

Untuk menghitung peluang empiris, kita perlu data yang cukup banyak. Misalnya, Pak Agus hanya kita amati selama satu bulan. Akan jauh lebih baik jika ia kita amati setidaknya selama satu tahun.

Distribusi variabel kontinu

Pada variabel kontinu, peluang tidak ditentukan pada satu titik, tetapi selalu pada suatu interval. Peluangnya sama dengan luas daerah di bawah kurva, sehingga untuk menghitungnya kita memerlukan integral. Misalkan kita mempunyai grafik variabel kontinu berikut, misalnya hasil pengukuran suatu penyimpangan dalam cm:

Pada sumbu x ada nilai dalam cm, dan pada sumbu y ada frekuensi relatif. Misalkan semua nilai yang terukur berada pada interval [−4, 4]. Jadi, peluang empiris bahwa kita mengukur penyimpangan pada interval ini adalah 1, yaitu 100%.

Lalu, apa hubungannya dengan luas daerah? Kita katakan bahwa luas daerah ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, dengan p adalah fungsi peluang, menyatakan 100% itu. Jika kita bertanya berapa peluang empiris bahwa nilainya terletak pada interval [0, 4], kita mendapat gambar seperti ini:

Daerah yang diarsir sebelumnya sesuai dengan 100%, sedangkan daerah ini sesuai dengan 50% karena luasnya jelas setengahnya. Secara tepat, peluang empiris dinyatakan sebagai perbandingan

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Hukum bilangan besar

Bagian sebelumnya berkaitan dengan hukum bilangan besar yang terkenal. Secara informal, hukum ini menyatakan bahwa jika percobaan saling bebas dilakukan berkali-kali, frekuensi relatif (peluang empiris) akan mendekati peluang teoretis.

Sekali lagi, kita bisa membayangkannya pada pelemparan uang logam. Yang muncul bisa sisi angka atau sisi gambar, dan setiap sisi mempunyai peluang $\frac{1}{2}$, yaitu 50%. Jika uang logam dilempar empat kali, bisa saja sisi angka muncul tiga kali dan sisi gambar sekali. Frekuensi relatifnya adalah $\frac{3}{4}$ dan $\frac{1}{4}$, cukup jauh dari $\frac{1}{2}$.

Jika uang logam dilempar sepuluh kali, bisa saja sisi angka muncul tujuh kali dan sisi gambar tiga kali. Frekuensinya adalah $\frac{7}{10}$ dan $\frac{3}{10}$. Bilangan ini masih jauh dari $\frac{1}{2}$, tetapi sudah lebih dekat ke setengah daripada frekuensi sebelumnya.

Kita bisa melanjutkan dengan cara yang sama. Jika uang logam dilempar seribu kali, bisa saja sisi angka muncul 520 kali dan sisi gambar 480 kali. Frekuensinya adalah $\frac{13}{25}$ dan $\frac{12}{25}$, yang sudah sangat dekat dengan setengah (sebagai gambaran, $\frac{13}{25}=0,52$).

Perhatikan bahwa meskipun frekuensi relatifnya jauh lebih dekat ke setengah, frekuensi mutlaknya justru jauh lebih menyimpang dari frekuensi “ideal”. Saat uang logam dilempar sepuluh kali, frekuensi mutlak ideal untuk setiap sisi adalah 5, yaitu sisi angka muncul lima kali dan sisi gambar lima kali. Karena sisi angka muncul tujuh kali, selisihnya dua lemparan: 7 − 5 = 2. Hasil kita “berbeda dua lemparan” dari situasi ideal.

Namun, saat uang logam dilempar seribu kali, sisi angka muncul 520 kali, sehingga selisihnya dari kondisi ideal 20 lemparan, karena idealnya setiap sisi muncul 500 kali. Jadi, seolah-olah makin sering kita melempar, makin jauh hasilnya dari ideal.

Hal itu tidak masalah. Hukum bilangan besar tidak menyatakan bahwa frekuensi mutlak akan mendekati ideal, tetapi frekuensi relatif. Dan frekuensi relatif memang mendekatinya. Jadi, dalam frekuensi mutlak hasilnya mungkin makin menjauh, tetapi dalam frekuensi relatif makin mendekat.