이항분포

문제가 다섯 개인 시험을 생각해 보자. 문제마다 보기가 네 개 있고 그 가운데 하나만 정답이다. 시험공부를 전혀 하지 않아서 모든 문제를 찍는다. 정확히 두 문제를 맞힐 확률은 얼마일까? 이런 확률을 구할 때 쓰는 것이 이항분포이다.

문제가 하나라면 아주 쉽다. 보기 네 개 가운데 하나가 정답이므로 확률 $\frac{1}{4}$로 맞히고 확률 $\frac{3}{4}$으로 틀린다. 문제는 다섯 개이고, 두 개는 맞히고 세 개는 틀려야 한다는 점이 까다롭다.

구체적인 순서 하나

먼저 구체적인 순서 하나만 보자. 처음 두 문제를 맞히고 나머지 세 문제를 틀렸다고 하자. 이를 OOXXX로 나타내자. O는 성공, 즉 정답이고 X는 실패, 즉 오답이다.

문제들은 서로 독립이다. 첫 번째 문제를 맞혔다고 해서 두 번째 문제가 쉬워지거나 어려워지지 않는다. 그래서 각 문제의 확률을 곱할 수 있다.

$$P(\text{OOXXX})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

되풀이되는 인수를 거듭제곱으로 묶는다.

$$P(\text{OOXXX})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

거듭제곱을 계산한다.

$$P(\text{OOXXX})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

하지만 이것은 여러 경우 가운데 하나일 뿐이다. 정답 두 개는 OXOXX, XXXOO 같은 순서로도 나올 수 있다. 이런 순서는 모두 확률이 $\frac{27}{1024}$로 같다. 순서만 다를 뿐 $\frac{1}{4}$이 두 번, $\frac{3}{4}$이 세 번 들어 있고, 곱셈에서는 인수의 순서가 상관없기 때문이다.

그러면 이런 순서는 모두 몇 가지일까? 다섯 문제 가운데 맞힐 두 문제를 고르고, 고르는 순서는 상관없다. 바로 조합이다.

$${}_5{\mathrm{C}}_2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

즉 서로 다른 순서가 열 가지이고, 각각의 확률이 $\frac{27}{1024}$이다. 각 순서는 서로 배반이므로 확률을 더한다. 즉 10을 곱한다.

$$P(\text{정확히 두 문제를 맞힘})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\fallingdotseq 0.26$$

따라서 찍어서 정확히 두 문제를 맞힐 확률은 약 26%이다. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$만 계산하고 순서 열 가지를 잊어버리고 싶어진다. 그러면 결과가 원래보다 10배 작아진다.

공식

같은 방법을 문제의 개수와 확률이 얼마이든 쓸 수 있다. 일반적으로 각 문제를 시행, 정답을 성공이라고 한다. 성공한 횟수를 확률변수 X로 나타내면, 이항분포는 이 확률변수의 확률분포이다. 공식만 필요하다면, n번의 시행에서 정확히 k번 성공할 확률은 다음과 같이 구한다.

$$P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

여기서 p는 한 번의 시행에서 성공할 확률이다. 거듭제곱 p^k은 k번의 성공에, 거듭제곱 (1 − p)^{n − k}은 나머지 n − k번의 실패에 해당하고, 이항계수 {}_nC_k는 그런 일이 일어나는 순서가 몇 가지인지 알려 준다.

이 시험에서는 n = 5, k = 2, $p=\frac{1}{4}$이다. 대입한다.

$$P(X=2)={}_5{\mathrm{C}}_2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

앞과 같은 결과가 나왔다. 공식은 사실 앞 절의 방법을 짧게 쓴 것일 뿐이다.

공식은 일정한 조건에서만 쓸 수 있다는 것에 주의하자. 다음 네 가지가 성립해야 한다.

• 시행 횟수 n이 미리 정해져 있다.
• 각 시행은 서로 독립이다.
• 모든 시행에서 성공할 확률 p가 같다.
• 각 시행의 결과는 성공과 실패의 두 가지뿐이다.

시험 문제를 찍는 것은 네 조건을 모두 만족한다. 하지만 몇몇 문제의 답을 안다면 문제마다 성공할 확률이 달라지므로 공식을 쓸 수 없다.

적어도

실제로는 “정확히 두 개”보다 “적어도 하나”가 궁금한 경우가 많다. 찍어서 적어도 한 문제를 맞힐 확률은 얼마일까? P(X = 1), P(X = 2), …, P(X = 5)를 구해서 모두 더하는 방법도 있다. 더 빠른 길은 여사건을 이용하는 것이다. “적어도 하나를 맞힌다”의 여사건은 “모두 틀린다”이다. 하나도 못 맞힌다는 것은 다섯 번 잇달아 틀린다는 뜻이다.

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

이 결과를 1에서 뺀다.

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

적어도 한 문제를 맞힐 확률은 약 76%이다. 희망적으로 들리지만, 다섯 문제 가운데 하나만 맞혀서는 시험을 통과할 수 없다.

시험에 통과하려면 적어도 세 문제를 맞혀야 한다고 하자. 이번에는 여사건이 도움이 되지 않는다. 여사건도 항이 세 개이기 때문이다. 그래서 세 경우를 직접 더한다. 먼저 세 문제를 맞히는 경우이다.

$$P(X=3)={}_5{\mathrm{C}}_3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

네 문제를 맞히는 경우이다.

$$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

마지막으로 다섯 문제를 모두 맞히는 경우이다.

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

더한다.

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\fallingdotseq 0.10$$

찍어서 시험을 통과할 확률은 약 10%이다. 그러니 공부할 만한 가치가 있다.

같은 공식으로 $P(X=1)=\frac{405}{1024}$도 구하면 여섯 가지 경우를 모두 알게 되고, 그래프로 그릴 수 있다. 각 막대 위에는 분수의 분자가 있고, 분모는 언제나 1024이다. 점선 오른쪽의 빨간 막대는 시험에 통과하는 경우이다.

이제 계산을 잘못하지 않았는지 확인할 수 있다. 정답의 개수는 어느 하나로 반드시 정해지므로 모든 분자를 더하면 1024가 되어야 한다.

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

맞는다. 그래프를 보면 한 문제를 맞히는 경우가 가장 많다는 것도 알 수 있다. 평균적으로 $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1.25$문제를 맞히는데, 이는 기대한 대로 다섯 문제의 4분의 1이다.