Komplemen kejadian

Komplemen kejadian kadang membantu ketika kita menghitung peluang suatu kejadian. Komplemen kejadian A adalah kejadian A^c yang memuat semua hasil yang mungkin terjadi, tetapi tidak termasuk kejadian A.

Definisi

Definisi percobaan acak dan kejadian dibahas dalam bab peluang. Ringkasnya: percobaan acak misalnya pelemparan dadu, ruang sampel memuat semua hasil yang dapat terjadi (pada pelemparan dadu, ruang sampelnya adalah himpunan ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}), dan kejadian adalah himpunan bagian dari ω, misalnya “muncul mata dadu ganjil”, yaitu A = {1, 3, 5}.

Jika ada kejadian A, misalnya tetap “muncul mata dadu ganjil”, yaitu A = {1, 3, 5}, komplemennya adalah kejadian A^c = ω ∖ A. Jadi, komplemen memuat semua hasil lainnya, yaitu hasil yang ada di ω, tetapi tidak ada di A. Dalam contoh kita, untuk kejadian “muncul mata dadu ganjil”, komplemennya adalah kejadian “muncul mata dadu genap”. Komplemen kejadian “muncul mata dadu 2 atau 5” adalah kejadian “muncul mata dadu 1, 3, 4, atau 6”.

Dalam bahasa himpunan: jika ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan ada kejadian A = {1, 2} (“muncul mata dadu kurang dari tiga”), maka A^c = ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Dengan kata-kata, kejadian ini dapat ditulis sebagai “muncul mata dadu lebih dari dua”.

Untuk peluang komplemen kejadian berlaku hubungan sederhana. Jika peluang kejadian A adalah 25%, berapa peluang kejadian A^c? Pada dasarnya kita bertanya: berapa peluang kejadian A tidak terjadi? Kejadian A terjadi dengan peluang 25%, jadi kejadian A tidak terjadi dengan peluang 100 − 25 = 75%. Hal ini selalu berlaku, sehingga dapat dikatakan bahwa komplemen kejadian A^c terjadi dengan peluang 1 − P(A):

$$P(A^c)=1-P(A)$$

Contoh soal

1. Dua dadu dilempar. Berapa peluang tidak muncul dua mata dadu enam? Dalam bab tentang peluang kita sudah menghitung bahwa pada pelemparan dua dadu ada 36 kemungkinan hasil yang berbeda. Sekarang kita perlu menghitung berapa banyak di antaranya yang tidak memuat dua mata dadu enam. Kita dapat menempuh jalan sebaliknya: kita hitung banyak pasangan yang memuat dua mata dadu enam, kita hitung peluang kejadian ini, lalu kita kurangkan dari satu.

   Hanya ada satu pasangan yang memuat dua mata dadu enam, yaitu (6, 6), jadi peluang kejadian A ini adalah:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Peluang komplemen kejadian A^c, yaitu kejadian “tidak muncul dua mata dadu enam”, adalah:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Tiga dadu dilempar. Berapa peluang muncul paling sedikit satu mata dadu enam? Soal ini juga dapat diselesaikan secara langsung dengan menuliskan semua susunan yang memuat satu, dua, dan tiga mata dadu enam. Namun, kita bisa mengambil jalan memutar dan menghitung komplemennya, yaitu kejadian “tidak muncul satu pun mata dadu enam”. Pertama kita hitung banyak semua hasil yang mungkin. Ada tiga dadu dan pada setiap dadu dapat muncul mata dadu 1 sampai 6, sehingga seluruhnya ada 6³ = 216 kemungkinan.

   Sekarang kita hitung kemungkinan yang tidak memuat satu pun mata dadu enam. Setiap dadu harus menunjukkan mata dadu 1 sampai 5, jadi seluruhnya ada 5³ = 125 kemungkinan yang tidak memuat angka 6. Sekarang tinggal kita substitusikan ke rumus:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Ini adalah kejadian A, yaitu “tidak muncul satu pun mata dadu enam”. Kita ingin mengetahui komplemennya: “muncul paling sedikit satu mata dadu enam”. Jadi, kita substitusikan ke rumus:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Dalam ujian matematika, seorang mahasiswa mengambil 3 soal dari 30 soal yang tersedia. Dari soal-soal itu, 10 soal aljabar, 15 soal analisis, dan 5 soal geometri. Berapa peluang ia mengambil paling sedikit dua soal dari bidang yang sama? Soal ini juga lebih mudah diselesaikan dengan komplemen kejadian, yaitu: berapa peluang mahasiswa itu mengambil tepat satu soal dari setiap bidang?

   Pertama kita hitung berapa banyak kelompok tiga soal berbeda yang dapat diambil mahasiswa itu. Untuk itu kita memerlukan kombinasi. Ada 30 soal dan diambil 3, dengan urutan yang tidak diperhatikan. Diperoleh koefisien binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Selanjutnya, ada berapa kemungkinan mahasiswa itu mengambil tepat satu soal dari setiap bidang? Dengan aturan perkalian kita peroleh 10 · 15 · 5 = 750. Terakhir, kita substitusikan ke rumus peluang:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Namun, kita ingin mengetahui komplemennya, jadi hasil ini tinggal kita kurangkan dari satu:

   $$P(A^c)=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$