Peluang menebak undian 6 dari 49

Bagaimana menghitung peluang menebak dengan tepat hasil undian 6 dari 49? Bisakah peluang itu diperbesar? Mari kita lihat. Di beberapa negara ada lotre yang cara kerjanya begini: di dalam wadah undian ada 49 nomor dari 1 sampai 49, dan saat pengundian diambil enam nomor secara acak. Peserta mencoba menebak keenam nomor yang akan keluar. Berapa peluang kita menebak dengan tepat keenam nomor itu?

Kita mulai dengan menghitung banyak semua kombinasi yang dapat keluar. Yang penting disadari: tidak ada nomor yang dapat keluar dua kali dalam satu pengundian, jadi tidak mungkin keluar nomor 1, 2, 3, 4, 5, 5. Hal penting kedua: urutan keluarnya nomor tidak diperhatikan. Jika sekali nomor keluar dalam urutan 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan di lain waktu dalam urutan 6, 5, 4, 3, 2, 1, itu tetap kombinasi nomor yang sama, dan jika kita menebak nomor-nomor itu, tebakan kita benar dalam kedua kasus.

Jadi, kita tahu bahwa kita tidak dapat memakai permutasi k dari n unsur, yang memperhatikan urutan. Untuk menghitungnya kita memakai kombinasi, yang tidak memperhatikan urutan. Pertanyaannya: ada berapa kombinasi berbeda jika kita memilih enam nomor dari 49? Kita tulis dalam bentuk koefisien binomial seperti ini:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

Rumus untuk menghitung koefisien binomial ini seperti ini:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dengan tanda seru menyatakan faktorial. Jika nilai-nilainya kita substitusikan, diperoleh:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Pembilangnya dapat kita uraikan:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Sekarang 43! dapat kita coret:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Sekarang tinggal kita hitung:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10.068.347.520}{720}$$

Hasilnya sama dengan

$$\frac{10.068.347.520}{720}=13.983.816$$

Jadi, seluruhnya ada 13.983.816 kombinasi yang berbeda (hampir empat belas juta) yang dapat ditebak.

Peluang menebak semua nomor

Hadiah utama diperoleh jika keenam nomor yang keluar ditebak dengan tepat. Karena seluruhnya ada 13.983.816 kombinasi yang berbeda, kesempatanmu adalah 1 : 13.983.816. Peluangnya adalah

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

Untuk menyatakannya dalam persen, peluang ini kita kalikan seratus, artinya kita menghapus dua angka nol: 0,00000715%. Peluang ini sangat kecil. Sebagai gambaran, bayangkan sebuah negara yang penduduknya sedikit di atas sepuluh juta orang. Seandainya setiap penduduknya menebak satu kombinasi yang berbeda dari kombinasi orang lain, tetap akan ada tiga juta kombinasi yang tidak ditebak siapa pun, dan kira-kira ada peluang seperlima bahwa tidak ada seorang pun yang menebak dengan tepat.

Bisakah peluang menebak diperbesar?

Tidak bisa. Sama sekali tidak. Kecuali jika orang yang mengundi nomor disuap. Setiap kelompok enam nomor mempunyai peluang yang sama untuk keluar. Kelompok 1, 2, 3, 4, 5, 6 mempunyai peluang keluar yang sama dengan 5, 14, 15, 38, 41, 48. Wadah undian tidak membedakan urutan nomor yang rapi seperti 1, 2, 3, 4, 5, 6 dari urutan acak seperti 5, 14, 15, 38, 41, 48. Hanya kita manusia yang lebih suka urutan yang rapi. Wadah undian juga tidak mengingat nomor yang keluar sebelumnya. Bahwa minggu lalu keluar nomor 5, 14, 15, 38, 41, 48 sama sekali tidak memengaruhi peluang keenam nomor itu keluar lagi minggu berikutnya.

Ada dua hal yang dapat kamu lakukan. Yang pertama: jangan memilih nomor yang dipilih banyak orang lain. Peluangmu tidak berubah, karena tidak penting apakah suatu kelompok nomor dipilih oleh satu orang atau seratus orang. Namun, seandainya tebakanmu tepat, hadiahnya dibagi di antara lebih sedikit orang. Paling baik memilih nomor yang benar-benar acak. Peluang orang lain memilih kelompok enam nomor acak yang sama itu kecil. Sebaliknya, jika kamu memilih nomor yang sama dengan hasil pengundian terakhir, besar kemungkinan banyak orang lain memakai strategi yang sama, dan kalau tebakanmu tepat, hadiahnya harus dibagi.

Pilihan kedua adalah tidak ikut sama sekali dan memakai uangnya untuk sesuatu yang lebih berguna.