Jarak titik ke bidang

Jarak titik ke bidang sama dengan panjang ruas garis “terpendek” yang ditarik dari titik tersebut ke bidang.

Soal

Diberikan bidang dengan persamaan umum r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 dan titik X(5, 7, 2). Berapakah jarak titik X ke bidang r? Pada gambar, situasinya seperti ini:

Gambar ini menunjukkan sebuah bidang ABCD dan titik X. Panjang ruas garis XF adalah jarak titik X ke bidang. Ruas garis ini juga tegak lurus terhadap bidang, sehingga merupakan jarak terpendek dari titik ke bidang. (Gambar ini tidak menunjukkan bidang r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 maupun titik X(5, 7, 2), melainkan jarak titik ke bidang secara umum.)

Penyelesaian dengan rumus

Kita dapat memakai rumus yang hampir sama dengan rumus jarak titik ke garis, hanya ditambah satu dimensi. Jadi, jarak titik X(x₁, x₂, x₃) ke bidang r: ax + by + cz + d = 0 dihitung dengan rumus

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Huruf d dipakai di sini dalam dua arti: d(X, r) di ruas kiri adalah jarak, sedangkan d di dalam rumus adalah koefisien dari persamaan bidang.

Untuk bidang r dan titik X(5, 7, 2) pada soal, kita substitusikan a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 dan x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$