Persamaan bidang

Seperti garis, bidang dapat dinyatakan dengan beberapa cara. Kita mulai dari cara yang paling sederhana, yaitu persamaan parametrik bidang.

Persamaan parametrik bidang

Pertama, mari kita ingat kembali cara menentukan persamaan parametrik garis p. Kita memilih titik A yang dilalui garis p, lalu vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Jika titik A dijumlahkan dengan suatu kelipatan t dari vektor arah, diperoleh sebuah titik pada garis p. Jadi, untuk setiap titik X pada garis diperoleh persamaan

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Dengan pemikiran yang serupa, kita dapat sampai pada persamaan bidang. Untuk menentukan bidang, kita memerlukan dua vektor berbeda yang bukan vektor nol dan tidak segaris, yaitu tidak sejajar, serta tentu saja titik A yang dilalui bidang tersebut. Kedua vektor tidak boleh segaris agar tidak terletak pada satu garis. Satu garis saja tidak menentukan bidang, karena satu garis dapat termuat dalam tak hingga banyak bidang.

Kita juga bisa memandangnya dengan cara lain. Garis dapat ditentukan oleh dua titik berbeda A, B. Namun, melalui kedua titik ini terdapat tak hingga banyak bidang. Jika kita menambahkan satu titik lagi, C, yang tidak terletak pada garis AB, bidangnya sudah terdefinisi secara tunggal.

Jadi, dari tiga titik berbeda A, B, C dapat dibentuk dua vektor berbeda $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Kedua vektor ini bersama, misalnya, titik A mendefinisikan sebuah bidang. Mari kita ingat kembali penjumlahan vektor:

Terlihat bahwa dengan menjumlahkan dua vektor, kita dapat memperoleh vektor yang arahnya “di antara” kedua vektor tersebut. Dengan menjumlahkan berbagai kelipatan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, kita dapat mengisi seluruh bidang. Jadi, persamaan parametrik bidang yang ditentukan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dan melalui titik A dapat ditulis sebagai berikut:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

dengan X suatu titik pada bidang. Untuk setiap titik pada bidang, kita dapat menemukan t dan s yang membuat persamaan ini benar. Persamaan ini juga dapat diuraikan menjadi sistem persamaan. Misalkan X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$, dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Contoh soal

Periksalah apakah titik Q(0, 3, 5) terletak pada bidang yang ditentukan oleh titik A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Pertama, kita susun persamaan bidangnya. Kita tentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, dengan $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Bidang ini melalui titik A, jadi kita tulis sistem persamaan:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Sekarang kita periksa apakah bidang ini melalui titik Q(0, 3, 5). Caranya, kita substitusikan bilangan 0, 3, 5 untuk x,y,z, lalu kita selesaikan sistem persamaannya. Diperoleh sistem:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Dari persamaan terakhir, kita dapat menyatakan t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Nilai t kita substitusikan ke persamaan kedua:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Terakhir, nilai t dan s kita substitusikan ke persamaan pertama untuk memeriksa apakah persamaan itu benar:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Persamaan ini tidak benar, jadi seluruh sistem tidak memiliki penyelesaian. Titik Q(0, 3, 5) tidak terletak pada bidang tersebut.