Persamaan lingkaran

Lingkaran terdiri atas semua titik pada bidang yang berjarak sama, yaitu r, dari pusat O. Persamaan lingkaran adalah pernyataan yang sama, hanya ditulis dengan koordinat: titik X(x, y) terletak pada lingkaran jika dan hanya jika jaraknya dari pusat O(m, n) tepat r. Jarak dua titik dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

Kita hubungkan pusat O dengan titik X, lalu kita gambar sisi siku-siku mendatar dan tegak sehingga terbentuk segitiga siku-siku. Sisi siku-siku mendatar panjangnya x − m, sisi tegak panjangnya y − n, dan sisi miringnya adalah jari-jari r. Menurut teorema Pythagoras, berlaku

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Jika titik X terletak di sebelah kiri atau di bawah pusat, selisih x − m atau y − n bernilai negatif. Hal ini tidak masalah, karena kuadrat suatu bilangan tidak pernah negatif. Jika kamu sudah mengenal panjang vektor, kamu akan mengenali rumus yang sama: ruas kiri adalah kuadrat panjang vektor $\overrightarrow{OX}$.

Persamaan ini dipenuhi oleh koordinat semua titik pada lingkaran, dan hanya oleh titik-titik itu. Titik di dalam lingkaran berjarak kurang dari r dari pusat, sehingga ruas kirinya bernilai kurang dari r². Untuk titik di luar lingkaran, hasilnya sebaliknya.

Bentuk pusat

Persamaan

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

disebut persamaan lingkaran bentuk pusat. Bentuk ini paling praktis, karena pusat O(m, n) dan jari-jari r langsung terlihat.

Mari kita susun persamaan lingkaran dengan pusat O(2, −1) dan jari-jari r = 3. Kita substitusikan m = 2, n = −1, dan r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus satu sama dengan plus satu, dan tiga kuadrat sama dengan sembilan:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Di sinilah kesalahan paling sering terjadi. Tanda koordinat pusat O(2, −1) dalam persamaan terbalik: bilangan 2 muncul sebagai −2, dan minus satu sebagai +1. Siapa pun yang menulis (x + 2)² + (y − 1)² = 9 akan mendapat lingkaran dengan pusat (−2, 1), yaitu di tempat yang sama sekali lain. Jebakan yang sama muncul saat membaca persamaan: dari persamaan (x + 5)² + (y − 3)² = 16 kita peroleh pusat O(−5, 3), bukan (5, −3). Jebakan ketiga: ruas kanan adalah r², bukan r. Jari-jari lingkaran ini adalah $\sqrt{16}=4$, bukan enam belas.

Lingkaran yang paling sederhana adalah lingkaran dengan pusat di titik asal (0, 0). Kedua tanda kurung menjadi lebih sederhana dan tersisa persamaan x² + y² = r².

Lingkaran yang ditentukan oleh diameter

Sering kali soal tidak langsung memberikan pusat maupun jari-jari. Misalnya, kita harus mencari lingkaran yang diameternya ruas garis AB, dengan A(−1, 2) dan B(5, −6).

Pusat lingkaran terletak tepat di tengah diameter, jadi pusat itu sekaligus titik tengah ruas garis AB. Koordinatnya adalah rata-rata koordinat titik A dan B:

$$O=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Jari-jari adalah setengah diameter, jadi kita hitung dulu panjang ruas garis AB. Selisih koordinatnya adalah 5 − (−1) = 6 dan −6 − 2 = −8. Lalu kita gunakan teorema Pythagoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diameternya sepuluh, jadi jari-jarinya r = 5. Salah jika seluruh panjang |AB| disubstitusikan sebagai jari-jari, karena lingkarannya akan menjadi dua kali lebih besar. Kita substitusikan ke bentuk pusat:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Untuk memeriksa, kita substitusikan titik A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Cocok, titik A terletak pada lingkaran.

Bentuk umum

Jika tanda kurung pada bentuk pusat kita jabarkan, diperoleh persamaan umum lingkaran. Kita mulai dari lingkaran pertama (x − 2)² + (y + 1)² = 9 dan menguadratkan kedua tanda kurung dengan rumus (a − b)² = a² − 2ab + b² dan (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Suku-sukunya kita urutkan, lalu bilangan 9 kita pindahkan ke ruas kiri agar ruas kanan bernilai nol:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Bilangan-bilangannya kita jumlahkan:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Ini tetap lingkaran yang sama, hanya ditulis dengan cara lain. Bentuk umum ditulis sebagai x² + y² + ax + by + c = 0. Huruf a, b, c di sini hanyalah koefisien, bukan koordinat pusat; pusatnya tetap kita tulis O(m, n). Perhatikan bahwa koefisien x² dan y² sama, dan suku x · y tidak ada. Dari ciri ini lingkaran biasanya dapat dikenali, tetapi kepastiannya baru diperoleh setelah persamaan diubah kembali ke bentuk pusat. Persamaan x² + 4y² = 4 tidak lagi menggambarkan lingkaran, melainkan elips.

Dari bentuk umum, pusat dan jari-jari tidak langsung terlihat, jadi kita harus bisa mengubahnya kembali.

Dari bentuk umum kembali ke bentuk pusat

Diberikan persamaan x² + y² + 6x − 8y = 0, dan kita ingin mengetahui pusat dan jari-jarinya. Kita gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna, terpisah untuk x dan untuk y. Pertama, suku-sukunya kita kelompokkan menurut variabelnya:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Setengah dari enam adalah tiga, tetapi (x + 3)² = x² + 6x + 9. Jadi, kita menambahkan sembilan yang harus dikurangkan lagi. Karena itu, x² + 6x = (x + 3)² − 9. Setengah dari minus delapan adalah minus empat, jadi y² − 8y = (y − 4)² − 16. Kita substitusikan:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Bilangan-bilangannya kita pindahkan ke ruas kanan:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Selesai, inilah bentuk pusatnya. Perhatikan tandanya: pusatnya O(−3, 4) dan jari-jarinya $r=\sqrt{25}=5$. Persamaan semula tidak memiliki suku konstanta, karena itu titik (0, 0) memenuhinya, jadi lingkaran ini melalui titik asal. Pemeriksaan membuktikannya: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Jika setelah melengkapkan kuadrat ruas kanan bernilai negatif, persamaan itu bukan persamaan lingkaran, karena jumlah dua bilangan kuadrat tidak mungkin negatif. Jika ruas kanannya nol, persamaan hanya dipenuhi oleh titik pusatnya.

Apakah titik terletak pada lingkaran?

Koordinat titik kita substitusikan ke ruas kiri bentuk pusat, lalu hasilnya kita bandingkan dengan r². Ambil titik A(1, 2) dan lingkaran pertama (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Hasilnya 10, lebih dari 9. Jadi, jarak titik A dari pusat lebih besar daripada jari-jari, sehingga titik itu terletak di luar lingkaran. Jika hasilnya tepat 9, titik terletak pada lingkaran; jika lebih kecil, titik terletak di dalam lingkaran.