Vektor

Vektor adalah besaran yang selain memiliki besar juga memiliki arah. Inilah yang membedakannya dari bilangan biasa atau skalar, yang hanya memiliki besar.

Ruas garis berarah

Misalkan pada bidang terdapat dua titik berbeda A, B. Di antara kedua titik itu kita dapat menarik ruas garis. Ruas garis seperti ini biasanya ditulis AB, dan urutan titiknya tidak berpengaruh. Ruas garis AB sama persis dengan ruas garis BA.

Hal ini tidak selalu menguntungkan. Karena itu, kita memperkenalkan ruas garis berarah, yang membedakan titik pangkal dan titik ujung. Ruas garis berarah AB memiliki titik pangkal A dan titik ujung B. Pada gambar, ruas garis berarah ditandai dengan anak panah. Dalam teks, ruas garis berarah ditulis dengan tanda panah di atas nama titiknya: $\overrightarrow{AB}$. Contoh:

Ruas garis AB digambar dengan warna biru, sedangkan ruas garis berarah $\overrightarrow{CD}$ dengan warna merah. Jika ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$ memenuhi A = B, ruas garis tersebut disebut ruas garis berarah nol. Titik pangkal dan titik ujungnya sama. Sebenarnya sulit menyebutnya ruas garis, karena bentuknya hanya sebuah titik.

Panjang ruas garis berarah sama dengan panjang ruas garis biasa. Berlaku $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Arah ruas garis berarah

Perhatikan dua ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ berikut:

Sekilas saja sudah terlihat bahwa kedua ruas garis berarah ini memiliki arah yang sama. Pengertian “arah” sebenarnya dapat didefinisikan secara cermat, tetapi kita cukup memakai pemahaman intuitif saja. Secara sederhana, dua ruas garis berarah memiliki arah yang sama jika keduanya sejajar dan yang satu tidak menunjuk ke sisi yang berlawanan dengan yang lain. Berikut pasangan-pasangan ruas garis berarah yang memiliki arah yang sama:

Pasangan terakhir yang berwarna hijau adalah ruas garis berarah $\overrightarrow{IJ}$ dan $\overrightarrow{IK}$. Berikut contoh pasangan ruas garis yang arahnya tidak sama:

Apa itu vektor

Kembali ke gambar dua ruas garis berarah yang arahnya sama:

Kedua ruas garis berarah ini tidak hanya memiliki arah yang sama, tetapi juga panjang yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah letaknya. Ruas-ruas garis berarah yang arah dan panjangnya sama menyatakan satu vektor yang sama.

Jadi, satu vektor dapat digambar pada bidang (atau di ruang) dengan tak hingga banyak cara. Cukup ambil ruas garis berarah mana pun yang arah dan panjangnya sama dengan vektor tersebut. Semua ruas garis berarah berikut menyatakan satu vektor:

Vektor hanya ditentukan oleh panjang dan arahnya. Panjang dan arah vektor sama dengan panjang dan arah ruas garis berarah yang mewakilinya. Vektor biasanya ditulis tebal dan dengan tanda panah, sama seperti ruas garis berarah. Jadi, kita bisa memiliki vektor $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ atau, lebih singkat, vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Satu ruas garis berarah tertentu menyatakan satu penempatan vektor. Pada gambar sebelumnya ada 7 ruas garis berarah, dan masing-masing menentukan penempatan vektor yang berbeda. Ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{MN}$ menyatakan vektor yang sama, misalnya $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, tetapi keduanya adalah dua penempatan berbeda dari vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vektor segaris (kolinear)

Misalkan diberikan dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Kedua vektor ini disebut segaris (kolinear) jika keduanya sejajar. Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ tidak harus sama panjang. Arahnya harus sama atau berlawanan. Contoh vektor-vektor segaris:

Semua vektor merah segaris karena semuanya sejajar. Arahnya tidak berpengaruh: tidak masalah apakah vektor menunjuk ke kanan atas atau ke kiri bawah. Vektor biru $\overrightarrow{GH}$ tidak segaris dengan vektor-vektor merah.

Namun, jika vektor-vektor segaris memiliki arah yang sama, kita menyebutnya searah. Jika arahnya tidak sama, kita menyebutnya berlawanan arah. Kembali ke gambar sebelumnya: vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{EF}$ searah, sedangkan vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{KL}$ berlawanan arah.

Komponen vektor

Kita sudah tahu bahwa satu vektor dapat dinyatakan oleh tak hingga banyak ruas garis berarah. Salah satunya memiliki titik pangkal di titik asal sistem koordinat, yaitu di titik (0, 0) pada bidang dan di titik (0, 0, 0) di ruang. Perhatikan gambar berikut:

Ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ memiliki arah dan panjang yang sama, jadi keduanya adalah satu vektor. Ruas garis $\overrightarrow{CD}$ berpangkal di titik asal sistem koordinat; koordinat titik C adalah (0, 0). Hal yang sama berlaku untuk pasangan ruas garis $\overrightarrow{EF}$ dan $\overrightarrow{KL}$.

Jika kita tahu bahwa ruas garis $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ berpangkal di titik asal, kita dapat membuat kesepakatan: vektor-vektor ini cukup ditandai dengan titik ujungnya. Titik pangkalnya sama (yaitu titik asal sistem koordinat), jadi untuk membedakan ruas garis $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ cukup dituliskan titik ujungnya.

Kita katakan bahwa vektor $\overrightarrow{AB}$, dan juga vektor $\overrightarrow{CD}$, memiliki komponen (3, 1), yaitu koordinat titik D, titik ujung ruas garis $\overrightarrow{CD}$. Vektor $\overrightarrow{KL}$ memiliki komponen (−1, 4), yaitu koordinat titik F.

Cara menghitung komponen vektor

Sekarang kita tentukan komponen vektor secara matematis. Misalkan koordinat titik A, B yang menentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sudah diketahui. Ambil vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yang ditentukan oleh titik A(2, 3) dan B(5, 4). Vektor ini adalah vektor merah di bagian atas gambar sebelumnya. Bagaimana cara menemukan koordinat titik D, yaitu titik ujung ruas garis berarah yang mewakili vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan berpangkal di titik asal?

Caranya, kita geser seluruh ruas garis $\overrightarrow{AB}$ ke titik asal sistem koordinat. Agar titik A sampai di titik asal, titik itu harus digeser 2 kotak ke kiri dan 3 kotak ke bawah. Titik B digeser dengan cara yang sama. Dengan kata lain, koordinat kedua titik A dan B dikurangi dengan koordinat titik A. Dengan begitu, ruas garis $\overrightarrow{AB}$ berpindah ke tempat ruas garis $\overrightarrow{CD}$. Kita dapat menulis:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Jadi, komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah (3, 1), yaitu titik ujung ruas garis berarah yang berpangkal di titik asal.

Secara umum, jika vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ditentukan oleh titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ditulis di dalam tanda kurung biasa. Jadi, komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tadi ditulis sebagai berikut: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Mari kembali ke gambar dan menghitung komponen vektor $\overrightarrow{KL}$. Koordinat titik K dan L adalah K(−2, 1), L(−3, 5). Komponen vektornya adalah

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Hasilnya memang sama dengan koordinat titik F.

Cara menghitung panjang vektor

Jika komponen vektor sudah diketahui, panjangnya mudah dihitung. Dengan teorema Pythagoras, kita dapat dengan mudah menyimpulkan bahwa panjang vektor dengan komponen $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ pada bidang adalah

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Pada gambar berikut terlihat bahwa komponen vektor sama dengan panjang sisi-sisi segitiga yang kita buat. Dengan teorema Pythagoras, panjang vektor dapat dihitung dengan mudah.

Untuk vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$, panjangnya adalah

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Berikut dua contoh soal untuk melatih materi ini.

1. Tentukan komponen vektor u yang ditentukan oleh titik A(3, 7), B(−1, 0). Caranya sangat sederhana dan langsung: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Jadi, komponen vektornya adalah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$.

2. Diketahui vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dengan komponen $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ dibentuk oleh titik A(6, 6) dan B(x₁, y₁), yaitu $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Tentukan koordinat titik B.

   Kita susun lagi persamaan yang sudah kita kenal, lalu nyatakan variabel yang dicari:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Koordinat kedua dicari dengan cara yang sama:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Jadi, koordinat titik B adalah (8, 9).