Jarak titik ke garis

Jarak titik ke garis sama dengan panjang ruas garis “terpendek” yang ditarik dari titik tersebut ke garis.

Soal

Diberikan garis p dan titik A yang tidak terletak pada garis itu. Kita ingin mengetahui jarak titik A ke garis p. Sebagai contoh, kita ambil garis dengan persamaan umum p: −x + 2y − 12 = 0 dan titik A(6, 4):

Jarak titik ke garis sama dengan panjang ruas garis AB, dengan garis AB tegak lurus terhadap garis p dan titik B terletak pada garis p. Garis AB kita namakan q.

Penyelesaian dengan rumus

Jika kamu tidak ingin menurunkan rumus dan menghitung dengan cara yang “rumit”, kamu cukup menghafal rumusnya. Untuk titik A(a₁, a₂) dan garis p dengan persamaan umum p: ax + by + c = 0, jarak titik A ke garis p adalah:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Rumus ini dapat dipakai untuk contoh tadi. Kita substitusikan:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Cara dengan menghitung koordinat titik potong

Cara lainnya adalah menghitung koordinat titik B. Setelah itu, panjang ruas garis AB mudah dihitung dengan panjang vektor atau dengan teorema Pythagoras. Untuk itu, kita dapat memakai persamaan garis q. Dari persamaan umum garis p, vektor normal garis p langsung dapat ditentukan, yaitu $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Karena garis p dan q saling tegak lurus, jika kita ambil vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ yang tegak lurus terhadap vektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ ini adalah vektor normal garis q.

Salah satu vektor yang tegak lurus itu adalah $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (kebenarannya bisa diperiksa, misalnya, dengan hasil kali skalar). Jadi, persamaan umum garis q adalah

$$q:2x+y+c=0$$

Koefisien c dihitung dengan menyubstitusikan koordinat titik yang pasti terletak pada garis untuk x dan y. Dalam soal ini, titik itu adalah A(6, 4). Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Persamaan umum garis q secara lengkap adalah:

$$q:2x+y-16=0$$

Sekarang kita cari titik potong kedua garis. Caranya, persamaan kedua garis kita susun menjadi sistem persamaan, lalu kita selesaikan:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Persamaan pertama kita kalikan dengan 2, sedangkan persamaan kedua tetap:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Kedua persamaan dijumlahkan:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Koordinat y titik B adalah y = 8. Nilai ini kita substitusikan ke salah satu persamaan, misalnya ke −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Koordinat titik B adalah B(4, 8). Sekarang koordinat kedua titik sudah diketahui, sehingga panjang ruas garisnya mudah dihitung. Dari ruas garis AB kita bentuk vektor $\overrightarrow{AB}$, lalu kita hitung panjang vektor tersebut.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Panjang vektor (−2, 4) adalah:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$