Persamaan parametrik garis

Persamaan parametrik garis adalah persamaan dasar garis pada bidang atau di ruang.

Motivasi

Bagaimana cara menggambarkan sebuah garis pada bidang? Kita tahu bahwa untuk menggambarkan garis cukup dua titik berbeda, misalnya A dan B. Dengan kata lain, melalui dua titik berbeda dapat ditarik tepat satu garis p:

Bagaimana garis ini dapat dinyatakan dengan cara lain, yaitu dengan vektor? Kita dapat menambahkan pada gambar sebuah vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yang sejajar dengan garis p.

Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ memiliki arah yang sama dengan garis p. Itu sudah bagus, tetapi arah saja belum cukup. Jika garis p hanya dicirikan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, kita hanya menentukan arah garis, bukan letaknya. Kita tidak dapat membedakan tiga garis berikut:

Garis baru p₁ dan p₂ memiliki arah yang sama dengan garis p dan dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Agar garis p terdefinisi secara tunggal, kita masih perlu mengetahui sedikitnya satu titik pada garis p. Jika kita katakan bahwa arah garis p dinyatakan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan garis itu melalui titik A, garis p sudah terdefinisi secara tunggal. Garis p₁ dan p₂ memang searah, tetapi keduanya tidak melalui titik A.

Setiap garis dapat ditulis sebagai $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, dengan A titik pada garis dan $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektor yang sejajar dengan garis. Misalnya, garis p₁ dapat ditulis dalam bentuk $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, dan garis p₂ sebagai $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ atau $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$. Kita boleh memakai titik mana pun yang terletak pada garis.

Vektor arah garis

Untuk garis $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ disebut vektor arah garis. Cara paling mudah menemukan vektor arah adalah mencari dua titik A, B pada garis p. Vektor arahnya adalah ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$. Komponen vektor ini diperoleh dari selisih koordinat $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Contoh:

Pada garis p terletak dua titik A, B. Vektor arahnya sama dengan ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$, jadi komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ diperoleh dengan menghitung

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Panjang vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sama dengan panjang ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$. Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dapat digambar seperti ini:

Titik ujung vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ memiliki koordinat (4, 2), persis seperti hasil perhitungan, dan terlihat bahwa vektor ini sejajar dengan garis. Vektor arah hanya menunjukkan arah garis, atau lebih tepatnya “kemiringan garis”. Vektor arah cukup sejajar dengan garis. Jadi, jika kita memakai ruas garis $\overrightarrow{BA}$ sebagai ganti ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$, diperoleh vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Pada gambar:

Terlihat bahwa vektor hijau $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ adalah vektor negatif dari vektor biru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Keduanya adalah vektor arah garis p, karena keduanya sejajar dengan garis p.

Persamaan parametrik garis

Diberikan garis p, titik A pada garis tersebut, dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Titik apa yang diperoleh jika titik A dijumlahkan dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$? Perhatikan gambar berikut:

Jika titik pada garis dijumlahkan dengan vektor arah, diperoleh titik X yang juga terletak pada garis tersebut. Pada dasarnya, kita hanya “menggeser titik A searah vektor sejauh panjang vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$”. Jadi, koordinat titik X adalah:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Bagaimana jika kita hanya memakai setengah vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ atau dua kalinya? Atau −1 kalinya? Gambar berikut menunjukkannya:

Terlihat bahwa jika titik A dijumlahkan dengan kelipatan mana pun dari vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, selalu diperoleh titik pada garis p. Titik merah A menjadi “titik awal”, sedangkan titik-titik hijau adalah hasil penjumlahan titik A dengan kelipatan vektor arah biru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Sebenarnya, titik X mana pun yang kita pilih pada garis p selalu dapat dinyatakan sebagai jumlah titik A dengan t kali vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, dengan t suatu bilangan real. Untuk setiap titik X pada garis p terdapat t ∈ ℝ sehingga

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Dengan kata lain, jika kita menyubstitusikan semua bilangan real satu per satu untuk t dalam persamaan ini, diperoleh semua titik yang membentuk garis p, yaitu seluruh garis p. Persamaan ini disebut persamaan parametrik garis $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Persamaan tadi dapat diganti dengan sistem persamaan. Jika titik X memiliki koordinat (x, y), titik A memiliki koordinat (a₁, a₂), dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ memiliki komponen (u₁, u₂), kita dapat menulis

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

yang dapat ditulis ulang menjadi sistem persamaan yang sudah disebutkan (koordinat x dan koordinat y dinyatakan secara terpisah):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Setiap garis pada bidang dapat dinyatakan dengan sistem persamaan ini.

Pembatasan parameter

Pada bagian sebelumnya kita melihat bahwa jika semua bilangan real disubstitusikan untuk parameter t dalam persamaan parametrik, diperoleh sebuah garis. Apa yang terjadi jika kita tidak memakai semua bilangan real, tetapi misalnya hanya separuhnya, yaitu bilangan real nonnegatif saja?

Kita akan memperoleh sinar garis. Kembali ke gambar ini…

…terlihat bahwa untuk semua kelipatan positif vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (yaitu parameter t positif), diperoleh titik-titik X yang terletak “di atas” titik A. Sebaliknya, jika kita menambahkan kelipatan negatif $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (yaitu parameter t negatif), diperoleh titik yang terletak “di sisi sebaliknya”, “di bawah” titik A. Jika semua bilangan nonnegatif disubstitusikan untuk parameter t, yaitu t ∈ [0, ∞), diperoleh sinar garis r yang ditandai merah berikut:

Garis putus-putus menunjukkan titik-titik yang akan diperoleh jika sebaliknya semua bilangan negatif disubstitusikan untuk parameter t.

Jika semua bilangan dari interval satuan [0, 1] disubstitusikan untuk parameter t, diperoleh ruas garis yang panjangnya sama dengan panjang vektor arah, yaitu ruas garis merah berikut:

Contoh soal

Pada bidang diberikan dua titik A(−1, 3) dan B(2, 5).

1. Tentukan persamaan parametrik garis p yang melalui titik A, B. Pertama, kita tentukan vektor arahnya. Kita ambil ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$, sehingga komponen vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ adalah

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Secara umum, persamaan parametrik garis berbentuk $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$. Setelah disubstitusikan, diperoleh persamaan

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   yang dapat ditulis ulang sebagai sistem persamaan berikut:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Karena yang digambarkan adalah garis, t ∈ ℝ. Gambarnya ada sedikit di bawah.

2. Tentukan persamaan parametrik sinar garis r yang titik pangkalnya A dan melalui titik B. Kita pakai persamaan parametrik yang sama, hanya parameter t dibatasi. Sekarang tinggal menentukan apakah t ∈ [0, ∞) atau t ∈ (−∞, 0].

   Vektor arah diperoleh dari ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$, artinya titik pangkalnya A dan titik ujungnya B. Inilah yang kita butuhkan, karena sinar garis kita juga harus berpangkal di titik A. Jadi, arahnya tidak perlu dibalik dengan nilai parameter negatif, dan parameter t kita ambil dari interval nonnegatif t ∈ [0, ∞).

   Gambar penyelesaian soal ini dan soal sebelumnya:

   

3. Tentukan titik tengah ruas garis AB. Ada dua cara. Cara pertama: jumlahkan koordinat titik A, B, lalu bagi hasilnya dengan dua.

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Titik yang sama juga dapat diperoleh lewat vektor arah. Vektor arah diperoleh dari ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$, artinya $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$ menghasilkan titik B. Jadi, jika A dijumlahkan dengan setengah vektor arah, diperoleh titik tengah ruas garis $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Hasilnya titik yang sama. Gambar untuk memeriksa: