Kedudukan dua garis

Ada empat kemungkinan kedudukan dua garis pada bidang. Kedua garis dapat sejajar, berpotongan, saling tegak lurus, atau berimpit.

Menentukan kedudukan dari persamaan garis

Jika diketahui dua garis beserta persamaannya, kita cukup menyelesaikan sistem yang terdiri atas kedua persamaan itu. Ada tiga kemungkinan:

1. Sistem tidak memiliki penyelesaian: kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, jadi keduanya sejajar.
2. Sistem memiliki tepat satu penyelesaian: kedua garis memiliki tepat satu titik persekutuan (titik potong), jadi keduanya berpotongan.
3. Sistem memiliki tak hingga banyak penyelesaian: kedua garis memiliki tak hingga banyak titik persekutuan, jadi keduanya berimpit.

Perhatikan bahwa dengan cara ini kita tidak dapat mengetahui apakah kedua garis saling tegak lurus.

Pada gambar terlihat garis a, b yang sejajar, garis c, d yang berpotongan di satu titik, dan garis e, f yang berimpit.

Berikut contoh-contohnya:

1. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 5 = 0 dan q: 2x + 3y − 17 = 0. Dari kedua persamaan, kita susun sistem persamaan linear, lalu kita selesaikan:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama kita kalikan dengan dua:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Lalu kedua persamaan dijumlahkan:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Langkah selanjutnya mudah:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Tinggal menghitung x, misalnya dengan menyubstitusikan y = 3 ke dalam persamaan −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Sistem persamaan memiliki satu-satunya penyelesaian x = 4, y = 3. Artinya, kedua garis berpotongan di titik X(4, 3). Gambar:

   

2. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 2x + y − 8 = 0 dan persamaan parametrik garis q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Kali ini kita memiliki satu persamaan umum garis dan satu persamaan parametrik. Caranya, nilai x dan y dari persamaan parametrik kita substitusikan ke persamaan umum. Artinya, x dalam persamaan umum kita ganti dengan ruas kanan persamaan parametrik, begitu juga y. Diperoleh satu persamaan:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Selanjutnya persamaan diselesaikan seperti biasa:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Persamaan ini tidak memiliki penyelesaian, jadi kedua garis tidak berpotongan di titik mana pun. Garis p dan q sejajar. Gambar:

   

3. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 3x + y − 10 = 0 dan q: −9x −3y + 30 = 0. Sekilas terlihat bahwa persamaan kedua adalah persamaan pertama yang dikalikan dengan −3, jadi kedua garis seharusnya berimpit. Namun, mari kita hitung. Kita susun sistem persamaan:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama kita kalikan dengan 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Lalu kedua persamaan dijumlahkan:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Sistem ini memiliki tak hingga banyak penyelesaian. Kedua garis memiliki tak hingga banyak titik persekutuan, jadi keduanya berimpit. Gambar:

   

Menentukan kedudukan dari vektor arah dan vektor normal

Jika vektor arah atau vektor normal diketahui, kedudukan dua garis juga dapat ditentukan. Berlaku:

1. Jika vektor-vektor arahnya segaris (bergantung linear), kedua garis sejajar atau berimpit.
2. Jika vektor-vektor arahnya tidak segaris (tidak bergantung linear), kedua garis berpotongan.
3. Jika hasil kali skalar vektor-vektor arahnya sama dengan nol, kedua garis saling tegak lurus.

Ketiga pernyataan ini juga berlaku untuk vektor normal. Misalnya, jika vektor-vektor normalnya segaris, kedua garis sejajar atau berimpit, dan seterusnya.

Mari kita kerjakan lagi tiga contoh pada bagian sebelumnya dengan vektor arah dan vektor normal.

1. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 5 = 0 dan q: 2x + 3y − 17 = 0. Vektor normal garis p adalah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$, sedangkan vektor normal garis q adalah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$. Kedua vektor tidak segaris, karena vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ tidak bergantung linear. Tidak ada a ∈ ℝ yang memenuhi $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Jadi, kedua garis berpotongan.

   Kita hitung juga hasil kali skalarnya untuk memeriksa apakah kedua garis saling tegak lurus. Hasil kali skalar kedua vektor normal adalah

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Hasil kali skalarnya tidak nol, jadi kedua garis tidak saling tegak lurus.

2. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 2x + y − 8 = 0 dan persamaan parametrik garis q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Dari persamaan parametrik, vektor arah garis q dapat langsung dibaca. Komponennya sama dengan koefisien parameter t, jadi vektor arah garis q adalah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$. Dari persamaan umum garis p, vektor normalnya juga dapat langsung dibaca, yaitu $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ (koefisien di depan x dan y). Dari vektor normal ini diperoleh vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Kita hanya menukar kedua bilangan dan mengalikan salah satu komponen dengan −1. Hasil kali skalar vektor (2, 1) dan (1, −2) sama dengan nol. Karena itu, jika (2, 1) adalah vektor normal, (1, −2) adalah vektor arah.)

   Terlihat bahwa vektor arah garis p sama dengan vektor arah garis q dikali −1, yaitu $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Jadi, vektor-vektor arah kedua garis segaris, sehingga garis p dan q sejajar atau berimpit.

   Sekarang kita harus memeriksa apakah kedua garis sejajar atau berimpit. Cukup ambil sembarang titik A pada garis q, lalu substitusikan ke persamaan garis p. Jika persamaannya benar, kedua garis berimpit. Jika tidak, kedua garis hanya sejajar.

   Kita ambil persamaan parametrik garis q dan substitusikan nol untuk parameter t. Diperoleh:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Diperoleh titik A(5, 2) yang pasti terletak pada garis q. Koordinat ini kita substitusikan ke persamaan umum p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Titik ini tidak memenuhi persamaan, jadi titik A(5, 2) tidak terletak pada garis p dan kedua garis tidak berimpit.

3. Selidikilah kedudukan garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 6 = 0 dan q: 3x + y − 14 = 0. Contoh ini berbeda dengan contoh ketiga pada bagian sebelumnya. Dari kedua persamaan, vektor normal kedua garis dapat langsung dibaca, yaitu ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$. Kedua vektor normal tidak bergantung linear (tidak segaris): tidak ada bilangan real a yang memenuhi $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Sekarang kita periksa apakah kedua garis saling tegak lurus. Kita hitung hasil kali skalarnya:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Hasil kali skalarnya nol, jadi kedua vektor saling tegak lurus. Karena itu, kedua garis juga saling tegak lurus. Gambar:

   

   Jika ingin mengetahui titik potong kedua garis, kita harus menghitungnya dari persamaan. Dari kedua persamaan umum kita susun sistem persamaan:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama kita kalikan dengan −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Sekarang kedua persamaan dijumlahkan dan disederhanakan:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Koordinat x dihitung dengan menyubstitusikan ke salah satu persamaan, misalnya ke −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Jadi, titik potong kedua garis adalah $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.