점과 평면 사이의 거리

점과 평면 사이의 거리는 그 점에서 평면까지 그은 “가장 짧은” 선분의 길이이다.

문제

일반형 r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0으로 주어진 평면과 점 X(5, 7, 2)가 있다. 점 X와 평면 r 사이의 거리는 얼마일까? 그림으로 나타내면 다음과 같다.

그림에 어떤 평면 ABCD와 점 X가 있다. 선분 XF의 길이가 점 X와 평면 사이의 거리이다. 이번에도 이 선분은 평면에 수직이므로 점에서 평면까지의 가장 짧은 거리이다. (그림은 평면 r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0이나 점 X(5, 7, 2)가 아니라 점과 평면 사이의 거리를 일반적으로 보여 줄 뿐이다.)

공식으로 풀기

점과 직선 사이의 거리를 구할 때와 사실상 같은 공식을 쓰되 차원을 하나 더하면 된다. 점 X(x₁, x₂, x₃)과 평면 r: ax + by + cz + d = 0 사이의 거리는 다음과 같이 구한다.

$$v(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

문제의 평면 r과 점 X(5, 7, 2)에 대해 a = 3, b = 1, c = −2, d = 4와 x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2를 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}v(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\fallingdotseq 5.880\end{array}$$