Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng độ dài của đoạn thẳng “ngắn nhất” nối điểm đó với mặt phẳng.

Đề bài

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 và điểm X(5; 7; 2). Tìm khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng r. Trên hình vẽ, bài toán trông như sau:

Trên hình có một mặt phẳng ABCD và điểm X. Độ dài đoạn thẳng XF là khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng. Đoạn thẳng này vuông góc với mặt phẳng, nên đó là khoảng cách ngắn nhất từ điểm đến mặt phẳng. (Hình không biểu diễn mặt phẳng r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 hay điểm X(5; 7; 2), mà chỉ minh hoạ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nói chung.)

Giải bằng công thức

Có thể dùng công thức gần giống như khi tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, chỉ thêm một toạ độ. Khoảng cách từ điểm X(x₁; x₂; x₃) đến mặt phẳng r: ax + by + cz + d = 0 tính theo công thức

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Chữ d ở vế trái là kí hiệu khoảng cách, còn d trong phương trình mặt phẳng là hệ số tự do; hai chữ này không liên quan đến nhau.

Với mặt phẳng r và điểm X(5; 7; 2) trong đề bài, ta thay a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 và x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$