Kalkulator permutasi dengan unsur yang sama

Berapa banyak “kata” berbeda yang kamu peroleh jika huruf-huruf kata MATEMATIKA disusun ulang? Jika kesepuluh hurufnya berbeda semua, banyaknya 10! permutasi. Namun, huruf A muncul tiga kali, M dua kali, dan T juga dua kali. Jika dua huruf A ditukar tempatnya, kata yang dihasilkan tetap sama, dan susunan kembar seperti itu tidak boleh dihitung lebih dari sekali.

Masukkan banyak semua huruf (unsur) n ke kalkulator, lalu berapa kali setiap huruf muncul. Huruf yang hanya muncul sekali tidak perlu diisi. Biarkan kolom yang tidak terpakai bernilai 1, karena 1! = 1 dan hasilnya tidak berubah.

Cara menghitungnya

Karena itu, n! dibagi dengan faktorial dari banyaknya setiap unsur yang sama:

$$\text{banyak permutasi}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

Kata MATEMATIKA terdiri atas sepuluh huruf. Huruf A muncul tiga kali, M dan T masing-masing dua kali, sedangkan E, I, dan K hanya sekali. Jika semua hurufnya berbeda, ada 10! = 3.628.800 urutan. Namun, ketiga huruf A dapat saling ditukar dengan 3! = 6 cara tanpa mengubah kata, kedua huruf M dengan dua cara, dan kedua huruf T juga dengan dua cara. Kita bagi:

$$\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3.628.800}{24}=151.200$$

Jadi, dari huruf-huruf kata MATEMATIKA dapat disusun 151.200 kata yang berbeda. Kebanyakan tidak bermakna, tetapi MATEMATIKA, KAMATEMATI, dan TIKAMATEMA termasuk di antaranya.