Kalkulator paradoks ulang tahun

Di sebuah kelas ada 23 siswa. Berapa peluang minimal dua di antara mereka berulang tahun pada hari yang sama? Kebanyakan orang menebak hanya beberapa persen, padahal kenyataannya lebih dari setengah. Fenomena ini disebut paradoks ulang tahun. Sebenarnya ini bukan paradoks, hanya intuisi kita yang keliru: kita tidak membandingkan satu orang dengan semua orang lainnya, tetapi setiap orang dengan setiap orang lain, dan di kelas itu ada 253 pasangan.

Kalkulator ini menganggap satu tahun terdiri atas 365 hari dan pada setiap hari lahir orang dalam jumlah yang sama.

Cara menghitungnya

Kalkulator menghitung dengan rumus

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Di sini n adalah banyak orang.

Menghitungnya secara langsung cukup rumit, karena yang berulang tahun sama bisa dua orang, tiga orang, dua pasangan yang berbeda, dan seterusnya. Karena itu, kita menghitung komplemen kejadiannya, yaitu semua orang berulang tahun pada hari yang berbeda. Orang pertama boleh berulang tahun kapan saja, orang kedua harus jatuh pada salah satu dari 364 hari yang tersisa, orang ketiga pada salah satu dari 363 hari, dan orang ke-23 pada salah satu dari 343 hari:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Lalu kita hitung 1 dikurangi hasil tersebut:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Di antara 23 orang, peluang minimal dua orang berulang tahun pada hari yang sama kira-kira 50,73%. Pertanyaan yang sama sekali berbeda adalah apakah ada orang yang berulang tahun bersama kamu. Setiap orang dari 22 orang lainnya berulang tahun pada hari yang berbeda denganmu dengan peluang $\frac{364}{365}$, sehingga peluangnya hanya $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.