Kalkulator peluang kejadian minimal sekali

Bayangkan kamu naik bus kota tanpa tiket, dan pada setiap perjalanan ada peluang 5% kamu diperiksa petugas pemeriksa tiket. Dalam satu perjalanan, hampir pasti kamu lolos. Namun, dalam sebulan perjalananmu bisa mencapai dua puluh kali. Berapa peluang kamu tertangkap minimal sekali? Persentasenya tidak bisa dijumlahkan begitu saja: untuk dua puluh perjalanan hasilnya 100%, dan untuk tiga puluh perjalanan malah 150%. Perhitungannya menggunakan komplemen kejadian: kita hitung peluang petugas tidak datang sekali pun, lalu 1 dikurangi hasil tersebut.

Percobaan-percobaannya harus saling bebas dan peluangnya p selalu sama.

Berapa percobaan yang kamu perlukan?

Pertanyaannya bisa dibalik: berapa kali kamu harus naik bus tanpa tiket sampai petugas hampir pasti menangkapmu, misalnya dengan peluang 90%?

Cara menghitungnya

Peluang suatu kejadian terjadi minimal sekali dalam n percobaan adalah

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Untuk banyak percobaan, kita mencari n terkecil yang memenuhi 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, dengan c peluang yang diinginkan. Kedua ruas pertidaksamaan kita logaritmakan dan diperoleh

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Hasilnya kita bulatkan ke atas, karena banyak percobaan harus bilangan bulat.

Peluang petugas tidak datang dalam satu perjalanan adalah 1 − 0,05 = 0,95. Perjalanan-perjalanan itu saling bebas, sehingga untuk dua puluh perjalanan tanpa pemeriksaan peluangnya kita kalikan:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Lalu kita hitung 1 dikurangi hasil tersebut:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Dalam dua puluh perjalanan, peluang petugas menangkapmu minimal sekali kira-kira 64,15%. Lalu, berapa perjalanan yang cukup untuk peluang 90%? Kita substitusikan:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Hasilnya kita bulatkan ke atas menjadi 45 perjalanan. Dalam 45 perjalanan, peluang petugas menangkapmu kira-kira 90,06%. Membeli tiket lebih murah.