Perpangkatan dan akar

Perpangkatan adalah fungsi matematika yang, secara sederhana, dipakai untuk menuliskan perkalian berulang secara singkat.

Pangkat bilangan asli

Perpangkatan berbentuk aⁿ, dengan n disebut pangkat (eksponen) dan a disebut bilangan pokok (basis). Selanjutnya, kita terutama akan memperhatikan bentuk pangkatnya. Pada bagian ini kita lihat sifat-sifat perpangkatan dengan pangkat bilangan asli, yaitu jika pangkatnya bilangan 1, 2, 3, 4, …

Contoh perpangkatan seperti itu adalah 6². Angka 6 adalah bilangan pokok dan angka 2 adalah pangkat. Pangkat menunjukkan berapa kali 6 harus dikalikan berturut-turut untuk memperoleh hasilnya. Jadi, 6² = 6 · 6 = 36. Contoh lain: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Secara umum dapat ditulis seperti ini:

$$a^n=\underset{n\text{ kali}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Bilangan pokok boleh apa saja: bilangan, tetapi juga bentuk aljabar yang lebih rumit. Saat menghitung, bentuk itu cukup dikalikan sebanyak yang ditunjukkan oleh pangkat. Contoh:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Untuk pangkat nol kita tetapkan a⁰ = 1.

Pangkat negatif

Pada bagian ini kita anggap pangkatnya negatif. Bagaimana menafsirkannya? Kita mulai dari a⁰ = 1. Jika kita ingin menghitung a¹, kita dapat mengatakan bahwa a⁰ dikalikan dengan a. Karena a⁰ = 1, hasil kalinya adalah a⁰ · a = a. Kita memperoleh a. Jika kita ingin menghitung a², kita dapat menulis a² = a⁰ · a · a.

Nilai a⁰ = 1 dapat kita pandang sebagai nilai awal. Saat menghitung aⁿ, kita cukup mengalikan nilai a⁰ dengan a sebanyak n kali. Bagaimana jika n negatif? Jika n positif, kita mengalikan. Jika n negatif, kita membagi. Jadi, a⁻¹ diperoleh dengan mengambil nilai awal a⁰ dan membaginya dengan a. Diperoleh persamaan:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Jika ingin mengetahui a⁻², kita membagi a⁰ dengan a dua kali. Apa yang kita peroleh? Pertama, kita lihat cara lain menuliskan pembagian. Hasil bagi x/y dapat juga ditulis sebagai

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Ini salah satu sifat dasar pecahan. Jadi, jika kita ingin membagi suatu bentuk x dengan y dua kali, kita dapat menuliskannya sebagai

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Kembali ke contoh a⁻². Kita sudah mengatakan bahwa nilainya diperoleh dengan membagi a⁰ dengan a dua kali. Bentuk ini dapat diubah seperti ini:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Sekarang kita sudah mempunyai cara menghitung perpangkatan dengan pangkat negatif. Hitung perpangkatannya seolah-olah pangkatnya positif, lalu ambil kebalikannya, yaitu 1 dibagi hasil perpangkatan itu. Ditulis lebih tepat:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Di sini kita anggap −n bilangan negatif, jadi n positif.)

Berikut beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Pangkat pecahan

Pangkat dapat diperluas lagi untuk semua bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, yaitu hasil bagi dua bilangan bulat. Misalkan diberikan pecahan m/n dengan n bilangan positif. Kita dapat menuliskan rumus

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Tanda bengkok di atas a^m adalah lambang akar.

Kalkulator

Jika kamu perlu menghitung suatu perpangkatan, kamu dapat memakai kalkulator perpangkatan 🧮 di situs ini.

Sifat-sifat perpangkatan

• a⁰ = 1, jika a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, jika n > 0.
• 0⁰ adalah bentuk yang tidak terdefinisi.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, jika a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.