Phương trình mặt phẳng

Cũng như đường thẳng, mặt phẳng có thể biểu diễn theo nhiều cách. Ta bắt đầu với cách đơn giản nhất: phương trình tham số của mặt phẳng.

Phương trình tham số của mặt phẳng

Trước hết, nhắc lại cách lập phương trình tham số của đường thẳng p. Ta chọn một điểm A mà đường thẳng p đi qua và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Cộng điểm A với tích của vectơ chỉ phương với một số t nào đó, ta được một điểm của đường thẳng p. Như vậy, với mọi điểm X thuộc đường thẳng, ta có phương trình

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Lập luận tương tự sẽ dẫn đến phương trình mặt phẳng. Để xác định một mặt phẳng, ta cần hai vectơ khác vectơ-không và không cùng phương, tức là không song song, và tất nhiên một điểm A mà mặt phẳng đi qua. Hai vectơ không được cùng phương để chúng không nằm trên cùng một đường thẳng. Một đường thẳng không xác định được mặt phẳng, vì có vô số mặt phẳng chứa một đường thẳng.

Cũng có thể lập luận theo cách khác: hai điểm phân biệt A, B xác định một đường thẳng. Nhưng có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm này; nếu thêm một điểm C không thuộc đường thẳng AB thì mặt phẳng được xác định duy nhất.

Như vậy, với ba điểm phân biệt A, B, C, ta dựng được hai vectơ khác nhau $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Hai vectơ này cùng với, chẳng hạn, điểm A xác định một mặt phẳng. Nhắc lại phép cộng vectơ:

Ta thấy tổng của hai vectơ cho một vectơ nằm “giữa” hai vectơ đó. Lần lượt cộng các bội khác nhau của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, ta có thể phủ kín cả mặt phẳng. Vậy có thể viết phương trình tham số của mặt phẳng xác định bởi hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ và đi qua điểm A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

trong đó X là một điểm nào đó của mặt phẳng. Với mỗi điểm của mặt phẳng, ta tìm được t và s sao cho đẳng thức đúng. Có thể viết phương trình này thành hệ phương trình. Giả sử X(x; y; z), A(a₁; a₂; a₃), $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2;u_3)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2;v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Ví dụ

Xét xem điểm Q(0; 3; 5) có thuộc mặt phẳng xác định bởi ba điểm A(2; 3; 4), B(3; 7; −1), C(−5; 4; 4) hay không.

Trước hết ta lập phương trình mặt phẳng. Xác định hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, trong đó $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Ta có:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3;7;-1)-(2;3;4)=(1;4;-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5;4;4)-(2;3;4)=(-7;1;0)\end{array}$$

Mặt phẳng đi qua điểm A, nên ta viết hệ phương trình:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Bây giờ ta kiểm tra mặt phẳng có đi qua điểm Q(0; 3; 5) hay không. Muốn vậy, thay x,y,z lần lượt bằng 0, 3, 5 rồi giải hệ phương trình. Ta được hệ:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Từ phương trình cuối, ta rút t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Thay t vào phương trình thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Cuối cùng, thay các giá trị t và s vào phương trình thứ nhất để kiểm tra đẳng thức có đúng không:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Đẳng thức không đúng, nên hệ vô nghiệm và điểm Q(0; 3; 5) không thuộc mặt phẳng.