Sistem persamaan

Dalam praktik, kita sering tidak hanya menyelesaikan satu persamaan, tetapi dua persamaan (atau lebih) sekaligus. Pertama, kita lihat cara menyelesaikan sistem persamaan seperti ini dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan matriks, bacalah artikel sistem persamaan linear.

Dasar-dasar

Sistem persamaan terdiri atas beberapa persamaan yang diselesaikan bersama-sama. Dalam sistem persamaan biasanya juga ada lebih dari satu variabel. Kita berusaha mencari kombinasi bilangan yang, jika disubstitusikan untuk semua variabel, membuat semua persamaan bernilai benar.

Contoh sistem persamaan adalah sistem berikut:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Hasil sistem ini seharusnya berupa pasangan bilangan (atau himpunan pasangan bilangan) yang kita substitusikan untuk variabel a dan b, sehingga kedua persamaan tetap benar. Sekilas terlihat bahwa variabel a harus sama dengan −b agar persamaan a + b = 0 dipenuhi. Dengan pengetahuan ini, dari persamaan kedua mudah terlihat bahwa a = 10 dan b = −10. Setelah disubstitusikan, diperoleh:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Penyelesaian dengan menebak sudah selesai. Sekarang kita bahas langkah-langkah yang benar-benar bisa diandalkan untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Metode substitusi

Pada metode substitusi, kita menyatakan salah satu variabel dari satu persamaan, lalu hasilnya kita masukkan ke persamaan lainnya. Jadi, pertama kita perlu sebuah sistem. Misalnya yang ini:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Ini adalah sistem sederhana dua persamaan dengan dua variabel (SPLDV). Tugas kita adalah menentukan variabel x dan y sehingga kedua persamaan bernilai benar. Dari persamaan pertama kita nyatakan y. Jadi, kita ambil persamaan pertama saja, lalu y kita isolasi.

$4 x + 2 y = 6$

Pertama, kedua ruas kita kurangi 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Kita bagi dua:

$y = 3 - 2 x$

Sekarang kita tahu berapa y. Hasil ini dapat kita substitusikan untuk variabel y pada persamaan kedua. Jadi, pada persamaan kedua kita tulis 3 − 2x sebagai pengganti y. Apa yang kita peroleh dengan begitu? Persamaan kedua tidak lagi memuat dua variabel, tetapi hanya satu, karena variabel y kita ganti dengan bentuk yang hanya memuat variabel x. Penulisan /y = 3 − 2x di sebelah kanan berarti “substitusikan y = 3 − 2x”. Kita substitusikan:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Sekarang tanda kurung tinggal kita jabarkan dan kita jumlahkan suku-suku yang bisa dijumlahkan:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Sekarang kita tahu nilai x, yaitu dua. Tinggal menghitung nilai y. Caranya, nilai x yang sudah diketahui kita substitusikan ke persamaan yang memuat kedua variabel, x maupun y. Misalnya, kita pilih persamaan yang paling pertama. Kita substitusikan seperti ini:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Dengan ini sistem persamaan sudah terselesaikan. Sistem ini mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu x = 2 dan y = −1. Jika kamu ingin memeriksa hasil ini, substitusikan saja ke kedua persamaan. Substitusi ke persamaan pertama:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Dan substitusi ke persamaan kedua:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Metode eliminasi

Metode ini sering lebih praktis, tetapi tentu bergantung pada soalnya. Tidak selalu cocok. Prinsip metode eliminasi adalah bahwa menjumlahkan persamaan merupakan operasi ekuivalen saat menyelesaikan sistem persamaan. Persamaan-persamaan dijumlahkan dengan menjumlahkan ruas kiri persamaan yang satu dengan ruas kiri persamaan lainnya, lalu menjumlahkan ruas-ruas kanannya. Secara umum, misalkan kita mempunyai sistem persamaan seperti ini:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Dengan menjumlahkan kedua persamaan ini, kita memperoleh satu persamaan yang didefinisikan seperti ini:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Ruas kiri kita jumlahkan tersendiri, ruas kanan juga tersendiri. Lalu, apa tujuan kita? Jika setelah dua persamaan dijumlahkan masih tersisa dua variabel, hal itu tidak banyak membantu. Karena itu, kita berusaha agar setelah kedua persamaan dijumlahkan, salah satu variabel hilang, yaitu saling menghapus. Jadi, kita berusaha agar jumlah salah satu pasangan fungsi, f atau g, sama dengan nol:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Bagaimana caranya? Sistem persamaan terdiri atas persamaan biasa, sehingga kita dapat menerapkan operasi ekuivalen pada persamaan seperti yang kita kenal dari persamaan biasa. Karena itu, salah satu persamaan boleh kita kalikan dengan suatu bilangan tanpa mengubah himpunan penyelesaiannya. Mari kita selesaikan sistem persamaan tadi dengan metode eliminasi. Soalnya tetap sama:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Jika persamaan-persamaan ini langsung dijumlahkan, kedua variabel masih tersisa:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Karena itu, kita harus lebih dulu melakukan beberapa operasi. Kita berusaha “menghilangkan” variabel y. Untuk itu, koefisien y pada kedua persamaan harus sama, kecuali tandanya, yang harus berlawanan. Jadi, kita mencari kelipatan persekutuan terkecil, yaitu 6. Cara sederhananya adalah mengalikan koefisien-koefisiennya: dua kali tiga sama dengan enam, sehingga bilangan enam pasti habis dibagi oleh kedua bilangan itu (catatan: cara ini tidak menjamin KPK, tetapi menghasilkan bilangan yang habis dibagi oleh kedua koefisien).

Sekarang kita berusaha agar koefisien y pada setiap persamaan menjadi enam. Jadi, persamaan pertama kita kalikan tiga dan persamaan kedua kita kalikan dua:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Diperoleh:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Sekarang kedua persamaan kita jumlahkan:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Kita memperoleh satu persamaan dengan satu variabel yang sudah mudah diselesaikan:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Terlihat bahwa hasilnya sama dengan hasil metode substitusi sebelumnya. Sekarang kita tinggal menyubstitusikan x ke salah satu persamaan dan memperoleh hasil y = −1. Pemeriksaannya juga sama persis.

Banyak penyelesaian

Sistem persamaan tidak selalu mempunyai tepat satu penyelesaian. Sistem juga bisa mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian, atau sebaliknya tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Berikut penjelasan singkat kapan hal itu terjadi. Jika kita mempunyai dua persamaan dengan dua variabel, dan salah satu persamaan dapat diperoleh dari persamaan lainnya dengan operasi ekuivalen, sistem itu mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian. Contohnya sistem

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Terlihat bahwa jika persamaan pertama kita kalikan dua, diperoleh tepat persamaan kedua. Jadi, persamaan kedua tidak memberikan “informasi baru” tentang sistem ini dan praktis tidak diperlukan. Akibatnya, setiap penyelesaian persamaan

$x + y = 2$

juga merupakan penyelesaian seluruh sistem. Misalnya, pasangan (1, 1) atau (−3, 5) adalah penyelesaian persamaan pertama sekaligus penyelesaian seluruh sistem.

Sistem tidak mempunyai penyelesaian sama sekali jika di dalamnya ada persamaan-persamaan yang saling bertentangan, sehingga tidak mungkin benar sekaligus. Misalnya:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Jumlah x + y tidak mungkin sama dengan dua sekaligus empat, sehingga sistem ini tidak mempunyai penyelesaian. Berikut beberapa contoh lagi.

Contoh 1

Selesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel berikut:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Sekilas melihat sistem ini, kita tahu bahwa metode eliminasi cocok untuknya. Koefisien x pada persamaan kedua dua kali lebih besar daripada pada persamaan pertama, dan koefisien y pada persamaan kedua tiga kali lebih besar. Jadi, persamaan pertama cukup kita kalikan minus dua atau minus tiga, lalu kedua persamaan dijumlahkan. Misalnya, kita eliminasi variabel x. Untuk itu, persamaan pertama kita kalikan −2. Diperoleh:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Kedua persamaan ini kita jumlahkan dan diperoleh

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Kita sudah memperoleh hasil pertama sistem ini. Hasil ini kita substitusikan ke salah satu persamaan, misalnya sekali lagi ke persamaan yang paling pertama:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 9 dan y = −14.

Contoh 2

Selesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel berikut:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Kelihatannya agak liar, tetapi bisa diselesaikan. Pertama-tama, tanda kurungnya harus kita jabarkan, karena tanpa itu kita tidak akan maju.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Sekarang persamaan-persamaan ini kita ubah ke bentuk yang lebih mudah dipakai: variabel kita pindahkan ke ruas kiri dan konstanta ke ruas kanan, lalu kita kurangkan yang bisa dikurangkan.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Dari persamaan-persamaan yang tampak rumit tadi, kini kita memperoleh sistem persamaan yang cukup mudah dipakai, dan kita bisa menerapkan salah satu cara yang sudah biasa. Misalnya, persamaan kedua kita kalikan dua, lalu kita jumlahkan dengan persamaan pertama. Setelah persamaan kedua dikalikan dua, diperoleh:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Sekarang kedua persamaan kita jumlahkan dengan metode eliminasi biasa:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Bagus, satu hasil sudah kita ketahui. Hasil ini kita substitusikan ke salah satu persamaan untuk menghitung y. Misalnya, kita substitusikan ke persamaan 2x− 3y = −13 dan diperoleh:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Sekarang penyelesaian sistem persamaan ini sudah lengkap: sistem ini mempunyai penyelesaian x = 4 dan y = 7.

« Artikel sebelumnya: Pertidaksamaan trigonometri

Artikel berikutnya: Bilangan »