평면의 방정식

평면도 직선과 마찬가지로 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있다. 가장 간단한 평면의 매개변수 표현부터 시작하자.

평면의 매개변수 표현

먼저 직선 p의 매개변수방정식을 어떻게 구했는지 떠올려 보자. 직선 p가 지나는 점 A와 방향벡터 $\overrightarrow{u}$를 골랐다. 점 A에 방향벡터의 어떤 t배를 더하면 직선 p 위의 점을 얻었다. 그래서 직선 위의 모든 점 X에 대해 다음 방정식을 얻었다.

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

비슷하게 생각하면 평면의 방정식에 이를 수 있다. 평면을 나타내려면 평행하지 않은, 영벡터가 아닌 서로 다른 두 벡터와, 물론 이 평면이 지나는 점 A가 필요하다. 두 벡터가 평행하면 안 되는 이유는 한 직선 위에 놓이지 않게 하기 위해서이다. 직선 하나로는 평면이 정해지지 않는다. 한 직선을 포함하는 평면은 무수히 많다.

다르게 생각할 수도 있다. 직선은 서로 다른 두 점 A, B로 정할 수 있다. 하지만 이 두 점을 지나는 평면은 무수히 많다. 여기에 직선 AB 위에 있지 않은 점 C를 하나 더하면 평면이 하나로 정해진다.

그래서 서로 다른 세 점 A, B, C가 있으면 서로 다른 두 벡터 $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$를 만들 수 있다. 이 두 벡터와 예를 들어 점 A가 평면을 정한다. 벡터의 덧셈을 떠올려 보자.

두 벡터를 더하면 두 벡터 “사이”의 성분을 가진 벡터를 얻을 수 있다. 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$의 여러 실수배를 차례로 더하면 평면 전체를 채울 수 있다. 그래서 벡터 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$로 정해지고 점 A를 지나는 평면의 매개변수 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

여기서 X는 평면 위의 어떤 점이다. 평면 위의 모든 점에 대해 이 방정식이 성립하는 t와 s를 찾을 수 있다. 이 방정식을 연립방정식으로 풀어 쓸 수도 있다. X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$, $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$이라고 하자.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

예제

세 점 A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4)로 정해지는 평면 위에 점 Q(0, 3, 5)가 있는지 알아보시오.

먼저 평면의 방정식을 세운다. 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$를 $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$로 정한다. 그러면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

평면은 점 A를 지나므로 다음 연립방정식을 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

이제 점 Q(0, 3, 5)가 이 평면 위에 있는지 알아본다. x,y,z에 수 0, 3, 5를 대입하고 연립방정식을 푼다. 그러면 다음 연립방정식을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

마지막 방정식에서 t를 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

t를 두 번째 방정식에 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

마지막으로 t와 s의 값을 첫 번째 방정식에 대입해서 등식이 성립하는지 확인한다.

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

등식이 성립하지 않으므로 연립방정식 전체의 해가 없다. 즉 점 Q(0, 3, 5)는 이 평면 위에 있지 않다.