이항정리

이항정리는 (a + b)² 같은 익숙한 공식을 경우의 수의 방법을 이용해 일반화한 것이다.

출발점

(a + b)²이나 (a + b)³을 계산하는 공식은 분명히 알고 있을 것이다.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

자연스럽게 이런 질문이 생긴다. 이 공식을 아무 자연수 n에 대해서도 일반화할 수 없을까? 즉 (a + b)ⁿ을 계산할 수 있을까?

이끌어 내기

물론 할 수 있다. 이때 쓰는 것이 이항정리이다. n = 4와 n = 5일 때 이 전개가 어떻게 이어지는지 보자.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

이제 어떤 규칙이 보일 것이다. 식 (a + b)ⁿ이 있으면 우변은 언제나 항 aⁿ으로 시작한다. 두 번째 항에도 변수 a가 있지만 지수가 하나 작다. 예를 들어 (a + b)⁴의 전개에서 우변의 첫째 항에는 a⁴, 둘째 항에는 a³이 있다. 다음 항마다 변수 a의 지수가 앞 항보다 하나씩 작다. 반대로 변수 b는 커진다. 처음에는 변수 b가 없다. 정확히는 있지만 지수가 0이다. b⁰ = 1이다. 둘째 항에서는 b의 지수가 1, 그다음은 2이고, 이렇게 계속된다.

이때 지수의 합은 언제나 n이라는 간단한 규칙이 성립한다. 마지막 전개 (a + b)⁵에서 예를 들어 셋째 항은 10a³ · b²이고, 변수 a와 b의 지수의 합은 5이다.

마지막으로 각 항의 계수(변수 앞의 수)는 무엇일까? 계수가 대칭이라는 것을 분명히 알아챌 것이다. (a + b)⁴에서는 계수가 1, 4, 6, 4, 1이고, (a + b)⁵에서는 1, 5, 10, 10, 5, 1이다. a⁴ = 1 · a⁴이므로, 공식에는 따로 쓰지 않았지만 여기서는 1을 적었다. 다음 관계는 파스칼의 삼각형에서 보자.

파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형은 이항정리에 따른 전개를 계산할 때 쓸모 있는 도구이다. 파스칼의 삼각형은 수로 이루어져 있고, 어떤 두 수 아래에 있는 수는 그 두 수의 합과 같다. 말로 하면 복잡하지만 삼각형 자체를 보면 분명해진다.

예를 들어 수 4를 보자. 이 수 위에는 1과 3이 있다. 그리고 1과 3을 더하면 4가 된다. 다른 수도 마찬가지이다.

그러면 파스칼의 삼각형을 어떻게 이용할까? 각 줄의 수를 보면 이항 전개의 계수와 아주 닮았다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 (a + b)²의 계수는 1, 2, 1로, 둘째 줄과 같다. (a + b)⁴의 계수는 1, 4, 6, 4, 1로, 넷째 줄과 같다. (a + b)ⁿ을 계산해야 하면 파스칼의 삼각형의 n번째 줄을 보기만 하면 된다.

이항정리의 정의

형식적으로 이항정리는 다음과 같다.

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{a}^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

합은 0부터 n까지, n을 포함해서 구한다. 즉 더하는 항은 모두 n + 1개이다. {}_nC_k는 경우의 수에서 나온 이항계수로, 전개에서 그 항을 얻을 수 있는 서로 다른 조합의 수를 나타낸다. 나머지는 알맞은 지수가 붙은 변수뿐이다. 지수의 합이 정말 n이라는 것에 주목하자. n − k + k = n이다.

예제

간단한 예: 이항정리를 이용해 (a + 2b)⁴을 전개하시오. 먼저 파스칼의 삼각형의 넷째 줄을 본다. 이 줄에 따르면 계수는 1, 4, 6, 4, 1이다. 이제 지수를 차례로 채우기만 하면 된다. 첫째 항은 a⁴뿐이다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

둘째 항에서는 지수가 3, 1로 나뉘므로 a³(2b)¹을 얻는다. 1제곱은 식을 바꾸지 않으므로 a³2b라고 쓸 수 있다. 둘째 항의 계수는 4이다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

셋째 항의 지수는 2, 2이다. 여기서 조금 주의하자. 2b 전체를 제곱하므로 (2b)²이고, 이는 (2b)² = 4b²이다. 계수 6과 함께 전개에 써 넣는다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

넷째 항은 a(2b)³ 꼴이다. 거듭제곱을 계산하면 a8b³이다. 계수 4와 함께 써 넣는다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

마지막 항은 (2b)⁴ = 16b⁴뿐이다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

이제 조금만 정리하면 된다. 항 4a³2b에서 2를 항의 앞으로 옮겨 2 · 4 = 8을 곱할 수 있다. 그러면 8a³b가 된다. 나머지 항도 그렇게 하면 다음 결과를 얻는다.

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

이제는 계수가 파스칼의 삼각형의 수와 맞지 않는다는 것에 주의하자.