Arrotondamento

Arrotondare significa semplificare i numeri poco comodi trasformandoli in numeri più belli. Per esempio, il numero 98 è inutilmente complicato e potremmo semplificarlo nel bellissimo numero 100.

Numeri simili

Lo scopo dell’arrotondamento è prendere un numero che è sì preciso, ma troppo complicato, e ricavarne un numero di valore simile e più semplice. Di solito non ci serve sapere che un’auto viaggia a 61,49 km/h: ci basta sapere che va a circa sessanta all’ora. Questa operazione, con cui dal numero 61,49 otteniamo il numero 60, si chiama arrotondamento.

Il principio dell’arrotondamento

Vediamo prima come si arrotonda alle decine intere. Questo significa che il numero ottenuto deve essere divisibile per dieci senza resto. Il numero 57 non è divisibile per dieci, mentre i numeri 80 o 150 lo sono. Tutti i numeri divisibili per dieci hanno uno zero al posto delle unità (l’ultima cifra).

Ora si tratta di capire a quale numero arrotondare 57. Naturalmente ci regoliamo in base alla vicinanza: quali sono i numeri divisibili per dieci più vicini? In sostanza abbiamo due candidati, un numero minore di 57 e uno maggiore di 57. Il primo numero minore di 57 e divisibile per dieci è 50. Dall’altra parte otteniamo il numero 60.

Ma 57 è più vicino a 60 che a 50, perché la distanza di 60 da 57 è 3 (60 − 57), mentre la distanza di 57 da 50 è 7 (57 − 50). Perciò 57 arrotondato alle decine è uguale a 60. Il numero 60 è il numero divisibile per dieci più vicino.

Ma che cosa succede se dobbiamo arrotondare alle decine il numero 55? Questo numero è equidistante da 50 e da 60, perché da entrambi dista 5. In questo caso arrotondiamo per eccesso, cioè al numero più grande. Il numero 55 lo arrotondiamo quindi a 60. (A volte, soprattutto per ragioni tecniche, si usano anche altri procedimenti.)

Le regole dell’arrotondamento

Supponiamo ancora di arrotondare alle decine intere.

In sostanza possiamo arrotondare in due modi. Il primo è l’arrotondamento per difetto, cioè diminuiamo il numero di partenza. Arrotondiamo per difetto quando l’ultima cifra è compresa tra 0 e 4. Per esempio, il numero 23 lo arrotondiamo a 20, perché l’ultima cifra è un tre. Il numero 54 a 50, perché l’ultima cifra è un quattro. Il numero 80 resta 80. Attenzione: se c’è uno zero, non arrotondiamo certo per difetto a 70, il numero non cambia.

Il secondo modo è l’arrotondamento per eccesso: il numero di partenza aumenta. Arrotondiamo per eccesso quando l’ultima cifra è compresa tra 5 e 9. Quindi 19 lo arrotondiamo a 20, 56 a 60, 88 a 90. Arrotondiamo per eccesso anche quando il numero finisce con la cifra 5, cioè 15 diventa 20, 75 diventa 80 e così via.

Se il numero finisce con 0, 1, 2, 3 o 4, arrotondiamo per difetto. Se finisce con 5, 6, 7, 8 o 9, arrotondiamo per eccesso.

Arrotondare ai diversi ordini

Finora abbiamo sempre arrotondato solo alle decine intere. Ma possiamo scegliere qualsiasi altro ordine a cui vogliamo arrotondare. Per ordine intendiamo le decine, le centinaia, le migliaia…

Se arrotondiamo un numero alle centinaia, vuol dire che vogliamo che il numero sia divisibile per cento senza resto. Il numero 1853 non è divisibile per cento, il numero 7200 sì. Lo stesso vale per gli altri ordini. Questi numeri si riconoscono sempre perché finiscono con un certo numero di zeri. Un numero divisibile per dieci finisce con almeno uno zero (può averne di più: il numero 7200 è ovviamente divisibile anche per dieci), un numero divisibile per cento finisce con due zeri, un numero divisibile per mille con tre zeri, e così via.

Se vogliamo arrotondare un numero alle centinaia, cerchiamo il numero divisibile per cento più vicino. Quindi il numero 389 lo arrotondiamo a 400, perché questo numero è più vicino a 389 rispetto a 300.

Le regole per arrotondare ai diversi ordini

Il procedimento è praticamente lo stesso dell’arrotondamento alle decine, solo che non guardiamo l’ultima cifra del numero, ma la prima cifra che deve diventare nulla.

Per le decine è la prima cifra da destra, per le centinaia la seconda cifra da destra, per le migliaia la terza cifra da destra…

Proviamo il procedimento sul numero 6482, che arrotondiamo alle centinaia intere. Il numero ottenuto deve finire con almeno due zeri, quindi guardiamo la seconda cifra da destra. È la cifra 8. La cifra 8 ci dice che dobbiamo arrotondare per eccesso, come prima. Aumentiamo quindi di uno il valore della terza cifra da destra, cioè la cifra 4, e azzeriamo le ultime due cifre: otteniamo 6500. È il numero divisibile per cento più vicino tra quelli maggiori.

Proviamo ad arrotondare lo stesso numero, 6482, alle migliaia. Dovremmo ottenere un numero che ha le ultime tre cifre nulle. Guardiamo la terza cifra da destra, cioè 4. Questa ci dice che dobbiamo arrotondare per difetto. Stavolta il valore della quarta cifra da destra non cambia, sostituiamo semplicemente le ultime tre cifre con degli zeri e otteniamo 6000.

Numeri decimali

Possiamo arrotondare anche i numeri decimali, sempre in base all’ordine a cui arrotondiamo. Per esempio, il numero 96,6 arrotondato alle unità diventa 97. Lo stesso vale anche per i numeri più piccoli. Prendiamo il numero 0,327. Se vogliamo arrotondarlo ai centesimi, guardiamo la terza cifra dopo la virgola e vediamo che c’è un sette, che si arrotonda per eccesso, quindi arrotondiamo a 0,330. Con i numeri decimali non è necessario scrivere gli zeri alla fine. Il numero 3,200 è uguale a 3,2. Quindi il risultato precedente possiamo riscriverlo come 0,33. Se invece volessimo arrotondare il numero di partenza ai decimi, il risultato sarebbe 0,3.

Arrotondamenti successivi

Se dobbiamo arrotondare un numero a un certo ordine, guardiamo sempre solo l’ordine immediatamente inferiore. Non procediamo arrotondando via via a tutti gli ordini. Prendiamo per esempio il numero 746. Se lo arrotondiamo alle centinaia, otteniamo il numero 700, perché guardiamo la seconda cifra da destra, che è 4, e questa si arrotonda per difetto.

Ma in teoria potremmo prima arrotondare il numero alle decine e otterremmo 750, perché la cifra 6 ci dice di arrotondare per eccesso. Solo adesso arrotonderemmo alle centinaia e otterremmo 800, non 700, perché ormai arrotondiamo in base alla cifra 5 e non alla cifra 4.

Questo modo di procedere si chiama metodo degli arrotondamenti successivi e di solito non lo usiamo, perché è più lungo e meno preciso.