Regola del tre

La regola del tre si usa nei calcoli semplici di proporzionalità diretta e inversa. Di solito conosciamo tre dati legati tra loro e dobbiamo calcolare il quarto. Nella regola del tre dobbiamo distinguere con cura la proporzionalità diretta da quella inversa, perché i calcoli sono diversi.

Motivazione

Vai al negozio a comprare delle scorte di limonata. Con 4 euro hai comprato 5 bottiglie di limonata. Quante bottiglie compreresti se avessi 8 euro? È un tipico esempio che si può risolvere con la regola del tre.

A questo punto possiamo fare un semplice ragionamento: nel primo caso avevamo a disposizione 4 euro, nel secondo 8 euro. Ci aspettiamo quindi che, se abbiamo il doppio dei soldi, ci compriamo il doppio delle bottiglie. Con 8 euro compreremmo quindi 2 · 5 = 10 limonate.

Il ragionamento «più… più…» non è del tutto scontato, perché possiamo avere il seguente problema: 10 muratori costruiscono una casa in quattro mesi. In quanto tempo costruiscono la casa 20 muratori? Se usiamo il ragionamento di prima – i muratori sono il doppio, quindi i mesi saranno il doppio – otteniamo che 20 muratori costruirebbero la casa in 2 · 4 = 8 mesi.

Questo ragionamento naturalmente non è corretto, perché più muratori ci sono, meno mesi impiegheranno a costruire la casa. Dobbiamo quindi procedere al contrario: il doppio dei muratori impiega la metà del tempo a costruire la casa. Otteniamo così il risultato corretto: 20 muratori costruiscono la casa in 4/2 = 2 mesi.

I due procedimenti precedenti hanno anche un nome: proporzionalità diretta e proporzionalità inversa.

Proporzionalità diretta

Se vale «più… più…», si tratta di proporzionalità diretta. Esempi:

• Più soldi abbiamo, più limonate/cetrioli/monopattini possiamo comprare.
• Più articoli scrive un giornalista, più soldi guadagna.
• Più scavatori scavano, più terra tolgono.
• Più a lungo lasciamo funzionare la pompa, più acqua pompiamo.

Esempio: Un’auto consuma 6 litri di benzina ogni 100 chilometri. Quanti litri di benzina consuma dopo aver percorso 250 chilometri? Questo è un esempio di proporzionalità diretta, perché più strada fa l’auto, più benzina consuma.

Procedimento: Per prima cosa scriviamo ciò che conosciamo. Usiamo la tabella seguente, che ci aiuta a vedere con chiarezza che cosa conosciamo e che cosa vogliamo calcolare:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\end{array}$$

Nella prima riga abbiamo scritto i dati che conosciamo per intero. Nella seconda riga abbiamo a destra il dato che non conosciamo e a sinistra il dato per cui vogliamo calcolare l’incognita. Nelle colonne ci devono essere sempre dati omogenei, in questo caso in una colonna ci devono essere sempre o chilometri o litri.

Esiste un trucco che ti aiuta a risolvere questo esercizio. Per prima cosa disegna a destra una freccia dal basso verso l’alto, così:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\uparrow \end{array}$$

Se si tratta di proporzionalità diretta, a sinistra disegniamo la stessa freccia, dal basso verso l’alto:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\uparrow \end{array}$$

Nel passo successivo costruiamo le frazioni dalle colonne, seguendo il verso delle frecce. Il numeratore corrisponde al numero da cui parte la freccia e il denominatore al numero in cui la freccia finisce. Uguagliamo queste frazioni. Dalla prima colonna (chilometri) otteniamo quindi la frazione $\frac{250}{100}$ e dalla seconda (litri) la frazione $\frac{x}{6}$. Scritto come equazione:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Questa è una normale equazione lineare, che possiamo risolvere con i principi di equivalenza. Moltiplichiamo tutta l’equazione per sei, così ci liberiamo della frazione al secondo membro:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Ora basta calcolare x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Il risultato è che l’auto, dopo aver percorso 250 chilometri, consuma 15 litri di benzina.

Proporzionalità inversa

Se vale «più… meno…», si tratta di proporzionalità inversa. Esempi:

• Più persone si dividono una pizza, più piccola è la fetta che ciascuno riceve.
• Più veloce è la nostra connessione a internet, prima scarichiamo un film.
• Più veloce andiamo, prima arriviamo a destinazione.
• Più operai lavorano a una casa, prima la casa sarà finita.

Esempio: Sul tuo computer hai una connessione a internet con una velocità di 2 MB al secondo e hai scaricato la registrazione di un concerto in 450 secondi. In quanto tempo scaricheresti lo stesso concerto con una connessione di 6 MB al secondo?

Il procedimento sarà lo stesso della proporzionalità diretta: scriviamo i dati in una tabella chiara:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ secondi}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ secondi}\end{array}$$

Ora le frecce. La freccia di destra sarà ancora dal basso verso l’alto, qui non cambia nulla. Ma poiché si tratta di proporzionalità inversa, la freccia di sinistra andrà nel verso opposto, dall’alto verso il basso.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ secondi}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ secondi}\uparrow \end{array}$$

Il resto del procedimento è identico: da questa tabella costruiamo le frazioni, ancora seguendo il verso delle frecce. Otteniamo così le frazioni $\frac{2}{6}$ e $\frac{x}{450}$, che uguagliamo:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Moltiplichiamo l’equazione per 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

E calcoliamo x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Con la connessione più veloce scaricheremo il concerto in 150 secondi.

Osserva che il procedimento è in accordo con l’intuizione. Nell’ultimo passaggio dividiamo 450 per tre, cosa del tutto prevedibile. Passando da 2 MB/s a 6 MB/s la velocità triplica, è tre volte maggiore. Perciò ci aspettiamo che il tempo necessario per scaricare il film sia tre volte minore → ed è proprio ciò che esprime la frazione $\frac{450}{3}$.

Esercizi

Primo esercizio: La camera di un hotel di lusso costa quattrocentoventi euro per sette notti. Quanto ci costerebbe la stessa camera se volessimo andarci per dodici giorni?

Per prima cosa scriviamo i dati in una tabella:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ giorni}& \dots & 420\text{ euro}\\ 12\text{ giorni}& \dots & x\text{ euro}\end{array}$$

Ora dobbiamo decidere se si tratta di proporzionalità diretta o inversa. Vale che più a lungo ci fermiamo, meno paghiamo? No, vale il contrario: più a lungo ci fermiamo, più paghiamo. Si tratta quindi di proporzionalità diretta. Aggiungiamo le frecce:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ giorni}& \dots & 420\text{ euro}\\ \uparrow 12\text{ giorni}& \dots & x\text{ euro}\uparrow \end{array}$$

Con l’aiuto delle frecce costruiamo le frazioni:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{420}$$

Risolviamo l’equazione:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{420}\\ 420\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 420\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{420\cdot 12}{7}\\ x& =& 720\end{array}$$

La camera ci costerebbe 720 euro per 12 giorni.

Secondo esercizio: 10 stagionali raccolgono fragole e in un giorno ne mettono insieme 50 chili. Quanti chilogrammi di fragole raccolgono in un giorno 7 stagionali?

Scriviamo i dati in una tabella:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ stag.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ stag.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Si tratta di proporzionalità diretta o inversa? In questo esercizio c’è un piccolo tranello, perché, a differenza dei precedenti, nella riga con l’incognita abbiamo meno stagionali che nella prima riga. Non farti ingannare, si tratta ancora di proporzionalità diretta, perché più stagionali ci sono, più fragole si raccolgono. Oppure al contrario: meno stagionali ci sono, meno fragole si raccolgono. Anche questa è proporzionalità diretta. Quindi entrambe le frecce andranno dal basso verso l’alto.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ stag.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ stag.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Costruiamo le frazioni:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

e calcoliamo x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sette stagionali raccolgono in un giorno 35 chili di fragole.

Terzo esercizio: La lunghezza media del passo di Marco è 80 cm. Tornando a casa da scuola ha contato di aver fatto 1300 passi. Quanti passi farebbe se il suo passo misurasse esattamente un metro?

Prima la tabella. Attenzione: nel testo abbiamo 80 cm e un metro. Nella tabella però servono dati con la stessa unità di misura, quindi al posto di un metro useremo 100 cm – potremmo scegliere anche il procedimento opposto e scrivere 1 metro e 0,8 metri.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ passi}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ passi}\end{array}$$

E di quale proporzionalità si tratta? Vale che più lungo è il passo, meno passi servono per percorrere una certa distanza, si tratta quindi di proporzionalità inversa. La freccia di sinistra andrà dall’alto verso il basso, quella di destra dal basso verso l’alto.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ passi}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ passi}\uparrow \end{array}$$

Le frazioni saranno queste:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Isoliamo l’incognita e calcoliamo x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Marco per la stessa distanza avrebbe bisogno di soli 1040 passi.

Formule

Come si vede dai calcoli precedenti, i procedimenti sono sempre gli stessi e portano a formule semplici. Per prima cosa scriviamo la tabella in modo simbolico:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Allora valgono queste formule. Per la proporzionalità diretta:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

E per la proporzionalità inversa:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$