Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di frazioni

Con una frazione possiamo scrivere qualsiasi numero razionale. Una frazione è formata da due parti: la parte in alto si chiama numeratore, quella in basso denominatore. Esiste anche la frazione a più piani, che non è altro che una frazione con un’altra frazione al numeratore o al denominatore. A proposito: tutti i segni tra le frazioni (più, meno, uguale e così via) si scrivono sempre all’altezza della linea di frazione, non all’altezza del numeratore né del denominatore. E poi, lo sapevi che cinque persone su quattro hanno problemi con le frazioni?

Informazioni di base

Una frazione ha la forma seguente:

$$\frac{\text{numeratore}}{\text{denominatore}}$$

Un esempio di frazione è

$$\frac{2}{5},$$

cioè due quinti. Il denominatore si chiama così perché denomina la frazione, le dà il nome. Quinto, terzo, sesto… è il nome della frazione e deriva dal numero che si trova sotto la linea di frazione. Il numeratore, invece, indica il numero di parti: nell’esempio precedente erano due quinti. Questo per quanto riguarda i nomi.

Al numeratore e al denominatore può esserci in sostanza qualsiasi numero, oppure di nuovo una frazione; più spesso, però, incontriamo frazioni in cui numeratore e denominatore sono numeri naturali.

La frazione è solo un altro modo di scrivere la divisione: il valore di una frazione si calcola dividendo il numeratore per il denominatore. In generale, quindi, se abbiamo una frazione $\frac{a}{b}$, il suo valore è il numero a/b. La frazione precedente (due quinti) avrebbe quindi valore 2/5, cioè 0,4.

Riduzione ai minimi termini

Con le frazioni possiamo fare varie operazioni e cambiarne la forma (moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero oppure semplificare), senza che il valore della frazione cambi in alcun modo. Lo si può anche immaginare facilmente a parole: per esempio un mezzo ha lo stesso valore di due quarti o di quattro ottavi. Questo dipende dal fatto che la frazione è solo una divisione travestita. E al numero un mezzo si può arrivare dividendo molte coppie di numeri diverse: quattro diviso otto fa un mezzo, dieci diviso venti fa anch’esso un mezzo. Perciò le frazioni

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

hanno lo stesso valore.

Come si vede, siamo arrivati alle altre frazioni con lo stesso valore moltiplicando per 2 sia il numeratore sia il denominatore della frazione di partenza 1/2. Dopo la moltiplicazione abbiamo ottenuto la frazione 2/4, due quarti. Se moltiplichiamo per 2 numeratore e denominatore anche di questa frazione, otteniamo la frazione 4/8, quattro ottavi. In questo caso abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per lo stesso numero, ottenendo frazioni equivalenti.

L’operazione inversa è la semplificazione delle frazioni, in cui dividiamo numeratore e denominatore per lo stesso numero. Per semplificare una frazione dobbiamo trovare un numero per cui siano divisibili senza resto sia il numeratore sia il denominatore. La semplificazione si usa molto spesso nella pratica, perché semplifica notevolmente la frazione e permette di lavorarci meglio. Se avessimo la frazione 12/18, con una rapida occhiata vediamo che entrambi i numeri sono pari, quindi divisibili per 2. Potremmo certo semplificare la frazione per 2, ma al secondo sguardo si vede che numeratore e denominatore sono divisibili anche per 6. Se semplifichiamo la frazione per 6, otteniamo una frazione più semplice che se avessimo semplificato solo per 2. Perciò semplifichiamo la frazione per 6. Otteniamo la frazione 2/3.

Questa frazione non si può più semplificare: non esiste un numero (maggiore di uno) per cui si possano dividere senza resto sia il numeratore sia il denominatore. Di una frazione che non si può più semplificare diciamo che è ridotta ai minimi termini (o irriducibile). Cerca di lavorare sempre con frazioni ridotte ai minimi termini: quando lavori con delle frazioni, controlla prima se qualcuna si può semplificare. Risparmierai tempo. Ancora un esempio:

$$\frac{24}{42}$$

Per quale numero sono divisibili sia 24 sia 42? Sono entrambi pari, quindi certamente per 2. Dividiamo per 2 sia il numeratore sia il denominatore:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Esiste un numero che divide entrambi? Sì, questa volta il 3.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Esiste ancora un numero che divide sia il numeratore sia il denominatore? No: la frazione è ridotta ai minimi termini.

Moltiplicazione di frazioni

Forse ti stupirà, ma moltiplicare e dividere è più semplice per le frazioni che sommare e sottrarre. Se devi moltiplicare due frazioni, basta moltiplicare il numeratore della prima per il numeratore della seconda e il denominatore per il denominatore. Tutto qui. Un esempio di moltiplicazione di frazioni:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Nella moltiplicazione di frazioni esiste inoltre un altro modo di semplificare. Non serve semplificare solo all’interno di una stessa frazione: si può semplificare in croce. Se il numeratore della prima frazione si può semplificare con il denominatore della seconda, puoi farlo e semplificarti la moltiplicazione. Esempio (i numeri semplificati sono evidenziati):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Che cosa abbiamo fatto? Abbiamo diviso sia il 4 sia l’8 per 4. Il valore del prodotto è rimasto invariato. Se non avessimo semplificato subito, avremmo potuto farlo anche dopo la moltiplicazione.

La moltiplicazione di una frazione per un numero intero si riconduce poi semplicemente alla moltiplicazione di due frazioni, scrivendo il numero intero c come c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Come si vede, se moltiplichi una frazione per un numero intero, basta moltiplicare per quel numero il numeratore della frazione.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Divisione di frazioni

La divisione di frazioni è praticamente uguale alla moltiplicazione. Se vuoi dividere una frazione per un’altra, capovolgi la seconda frazione (il divisore) e moltiplichi normalmente le frazioni. Un semplice esempio di divisione di frazioni (nota che dopo aver capovolto la frazione possiamo semplificare 12 e 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Abbiamo ricondotto la divisione a una moltiplicazione capovolgendo la frazione $\frac{6}{11}$ nella frazione $\frac{11}{6}$ e moltiplicandola per l’altra frazione, rimasta invariata. Perché funziona così? Basta immaginarlo su un esempio più semplice, come la divisione per un mezzo. Se dividiamo

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

che cosa stiamo facendo in realtà? Stiamo scoprendo quante volte un mezzo sta in 10. In ogni unità il mezzo sta esattamente due volte (due volte un mezzo fa uno), quindi in 10 sta venti volte. Arriviamo allo stesso risultato moltiplicando 2 per 10: otteniamo ancora 20. E che valore otteniamo se capovolgiamo un mezzo? Due fratto uno, cioè 2.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

In conclusione abbiamo:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Addizione di frazioni

Sommare le frazioni è già un po’ più complicato. Possiamo infatti sommare le frazioni solo se hanno lo stesso denominatore. Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, dobbiamo ridurle a un denominatore comune. Poi procediamo semplicemente come nella moltiplicazione: sommiamo il numeratore della prima frazione con il numeratore della seconda. Rispetto alla moltiplicazione, però, il denominatore resta lo stesso. Prima un esempio di addizione di frazioni con lo stesso denominatore:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ha senso? Un mezzo più cinque mezzi fa sei mezzi: ha decisamente senso.

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, che è il caso più frequente, dobbiamo ridurle a un denominatore comune, cioè moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione o di entrambe per uno stesso numero in modo da ottenere lo stesso denominatore. Vogliamo sommare queste due frazioni:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

La prima frazione ha 3 al denominatore, la seconda 2. A questo punto è difficile sommarle, ma se moltiplichiamo numeratore e denominatore della prima frazione per 2, avrà 6 al denominatore, e se moltiplichiamo numeratore e denominatore della seconda per 3, avrà anch’essa 6 al denominatore. Ora entrambe le frazioni hanno lo stesso denominatore e possiamo semplicemente sommarle. Quindi, nel primo passo, trasformiamo le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

E ora sommiamo solo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Attenzione: nell’addizione non possiamo semplificare tra frazioni diverse come nella moltiplicazione. Per esempio, dopo la trasformazione avevamo 6 al denominatore della prima frazione e 15 al numeratore della seconda. Eppure non possiamo semplificare per 3:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Questa semplificazione ce la potremmo permettere solo se le frazioni fossero moltiplicate:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Come si riducono in generale due frazioni a un denominatore comune? Moltiplichiamo numeratore e denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda, e numeratore e denominatore della seconda per il denominatore della prima. In generale possiamo scriverlo così:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore della prima frazione per d, che è il denominatore della seconda. Abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore della seconda frazione per b, che è il denominatore della prima. Un esempio concreto:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Abbiamo moltiplicato la prima frazione per 8 (numeratore e denominatore) e la seconda per 4. Fatto questo, possiamo già sommare le frazioni.

La formula generale per l’addizione di frazioni è quindi la seguente:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Sottrazione di frazioni

La sottrazione di frazioni funziona esattamente come l’addizione, solo che i numeratori ottenuti non si sommano ma si sottraggono. Modifichiamo quindi la precedente formula generale dell’addizione così:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Un esempio concreto; come prima cosa riduciamo a un denominatore comune:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

E ora sottraiamo solo i numeratori, lasciando invariato il denominatore:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Prodotto in croce

Nel caso delle equazioni possiamo usare il prodotto in croce, che semplifica l’uguaglianza tra due frazioni. In pratica non si tratta d’altro che di due trasformazioni equivalenti dell’equazione data. Prendiamo quindi un’equazione con due frazioni

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Possiamo trasformare questa equazione moltiplicandola prima per il denominatore della prima frazione e poi per quello della seconda. Prima moltiplichiamo l’equazione per il denominatore della prima frazione, cioè per l’espressione b. Otteniamo

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Poi moltiplichiamo l’equazione per l’espressione d e otteniamo

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Nella prima frazione semplifichiamo b e nella seconda d. Il risultato è l’equazione

$$ad=bc.$$

Possiamo quindi considerarla una formula: se abbiamo un’equazione sotto forma di due frazioni, possiamo trasformarla come segue (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi):

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Segue un esempio. Nel primo passo riscriviamo le frazioni secondo la formula precedente e nel secondo passo sistemiamo un po’ le espressioni dei due membri.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Poi l’equazione si risolverebbe come una normale equazione di secondo grado, ma questo esula dall’argomento di questo articolo.

Argomenti collegati

Le frazioni compaiono spesso negli esercizi di semplificazione delle espressioni; se ne occupa l’articolo sulle frazioni algebriche. In particolare esiste un algoritmo per la divisione tra polinomi.