Proprietà delle funzioni

Una funzione è una regola che a ogni numero x del dominio M associa uno e un solo y dell’insieme immagine N. Di solito una funzione si scrive nella forma y = f(x), oppure si può esprimere in modo esplicito come f:y = x, dove la variabile x è l’argomento della funzione.

Dominio e insieme immagine

Per ogni funzione dobbiamo anche determinare il dominio, cioè l’insieme di tutti i valori ammissibili dell’argomento x, ovvero tutti i valori che la variabile x può assumere. Il dominio della funzione f si indica con Dom f.

Un esempio semplice: per f:y = x il dominio è l’intero insieme dei numeri reali, Dom f = ℝ. Un altro esempio: per $f:y=\frac{1}{x}$ il dominio è l’insieme dei numeri reali, questa volta però escluso lo zero, perché non si può dividere per zero e l’espressione non avrebbe senso: Dom f = ℝ ∖ {0}.

L’insieme immagine è, per analogia, l’insieme di tutti gli y ammissibili, cioè l’insieme di tutti gli elementi in cui la funzione f può «arrivare». Ancora un esempio semplice: data la funzione f:y = x, l’insieme immagine è ℝ, perché y può assumere qualsiasi valore di questo insieme. Prendiamo però un’altra funzione, f:y = |x| (valore assoluto). Qui l’insieme immagine è l’intervallo [0; +∞), perché non può mai accadere che y sia uguale, per esempio, a meno cinque: per la definizione di valore assoluto è impossibile.

Se ci atteniamo al concetto di applicazione dall’insieme A all’insieme B, allora l’insieme A è il dominio e l’insieme B è il codominio, cioè l’insieme in cui la funzione prende i suoi valori; l’insieme immagine ne è un sottoinsieme.

Monotonia di una funzione

La monotonia è la proprietà che stabilisce se in un dato intervallo la funzione è crescente, decrescente, crescente in senso lato, decrescente in senso lato, costante oppure nessuna di queste.

Questa proprietà si legge meglio dal grafico: se ti sembra che il grafico scenda, la funzione è decrescente; se la funzione sale, è crescente. Facile, no? :-) Le definizioni sono le seguenti: data una funzione f e due numeri x₁, x₂ ∈ Dom f, diciamo che

• la funzione f è crescente se, per x₁ < x₂, si ha f(x₁) < f(x₂).
• la funzione f è decrescente se, per x₁ < x₂, si ha f(x₁) > f(x₂). (La definizione è simile, ma nel primo caso tra i valori della funzione c’è < e nel secondo >)

Osserva il grafico della funzione crescente f(x) = ln(x):

Vediamo che, se scegliamo x₁, x₂ tali che x₁ < x₂, vale anche f(x₁) < f(x₂). Ora osserva un altro grafico, questa volta della funzione $f(x)=\frac{1}{x}$, che è decrescente, per esempio nell’intervallo (0; +∞):

Qui vediamo che, quando x₁ < x₂, per i corrispondenti valori della funzione vale invece il contrario: f(x₁) > f(x₂). Anche se x₁ è minore di x₂, «produce» un valore della funzione più grande.

Vediamo ancora le restanti definizioni:

• La funzione f è crescente in senso lato (non decrescente) se, per x₁ < x₂, si ha f(x₁) ≤ f(x₂). (La definizione è simile a quella della funzione crescente, ma ammettiamo che in un certo tratto la funzione abbia valore costante)
• La funzione f è decrescente in senso lato (non crescente) se, per x₁ < x₂, si ha f(x₁) ≥ f(x₂).
• La funzione f è costante se il suo insieme immagine è formato da un solo punto, cioè se per due qualsiasi x₁, x₂ vale f(x₁) = f(x₂).

Un esempio di funzione non crescente è la funzione f(x) = |x|−x:

Osserva che nell’intervallo (−∞; 0) la funzione scende, mentre nel resto del dominio ha un valore costante (zero). Su tutto il dominio si tratta quindi di una funzione decrescente in senso lato.

Funzioni pari e dispari

Alcune funzioni possono essere, a certe condizioni, pari o dispari. La cosa più semplice è conoscere il grafico della funzione, perché lì si riconosce più in fretta. Una funzione pari, infatti, è simmetrica rispetto all’asse y, mentre una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine (0; 0). Un esempio di funzione pari è y = x², una funzione dispari è per esempio y = 2x. Le definizioni sono le seguenti: la funzione f è

• pari se per ogni x ∈ Dom f vale f(x) = f(−x),
• dispari se per ogni x ∈ Dom f vale −f(x) = f(−x).

Delle funzioni pari e dispari tratta un articolo a parte, Funzione pari e dispari.

Funzione iniettiva

Una funzione iniettiva si riconosce dal fatto che tutti i suoi valori sono diversi tra loro: nessun valore della funzione si ripete. La definizione:

La funzione f è iniettiva se per ogni x₁, x₂ ∈ Dom f vale

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Se scegliamo due x diversi dal dominio della funzione, i corrispondenti valori della funzione devono essere sempre diversi.

Graficamente lo si riconosce, come sempre, in modo molto semplice. Se tracci una retta parallela all’asse x, questa deve intersecare il grafico al massimo in un punto. Un esempio di funzione iniettiva è la funzione lineare y = 3x: qualunque retta tu prenda, interseca il grafico in un solo punto. Il contrario è, per esempio, la funzione seno, il cui grafico forma una specie di onde: se tracci una retta parallela all’asse x che interseca l’asse y nel punto $\frac{1}{2}$, trovi infiniti punti di intersezione con il grafico, quindi la funzione non è iniettiva.

Funzione limitata

Le funzioni possono essere limitate superiormente, limitate inferiormente oppure sia superiormente sia inferiormente: una funzione così la chiamiamo semplicemente funzione limitata. La funzione f è limitata superiormente se troviamo un numero reale A maggiore di tutti i valori della funzione f. In modo analogo per la funzione limitata inferiormente. Ecco quindi le definizioni:

• La funzione f è limitata superiormente se esiste A ∈ ℝ tale che per ogni x ∈ Dom f vale A > f(x).
• La funzione f è limitata inferiormente se esiste A ∈ ℝ tale che per ogni x ∈ Dom f vale A < f(x).

Graficamente possiamo immaginarlo così: cerchiamo una retta parallela all’asse x (cioè una retta orizzontale) che si trovi sopra o sotto tutto il grafico della funzione.

Nella figura vediamo il grafico della funzione f(x) = x⁴, che è limitata inferiormente. Osserva che non dobbiamo affatto trovare l’A «più vicino» al grafico: basta mettere la retta in un punto qualsiasi sotto il grafico.

Minimo e massimo

La funzione f ha un massimo nel punto M del dominio se in questo punto M si trova il valore più alto tra tutti i valori della funzione. In modo analogo per il minimo. Le definizioni:

• La funzione f ha nel punto M ∈ Dom f un massimo assoluto se per ogni x ∈ Dom f vale f(x) ≤ f(M), in breve se il valore della funzione è il più alto nel punto M. Se il massimo è unico, lo chiamiamo massimo stretto.
• La funzione f ha nel punto m ∈ Dom f un minimo assoluto se per ogni x ∈ Dom f vale f(x) ≥ f(m): il valore della funzione è il più basso nel punto m.

Sul grafico il massimo e il minimo di una funzione si trovano probabilmente con facilità: basta guardare dove la funzione è più in basso o più in alto. Naturalmente una funzione può non avere né minimo né massimo, oppure può avere solo il minimo o solo il massimo; allo stesso modo può avere soltanto estremi relativi, ma non averne alcuno su tutto il dominio.

Se devi trovare minimi e massimi, usa le derivate; il procedimento esatto è descritto nell’articolo Studio di funzione.

Esempio

Determina le proprietà della funzione in base al grafico seguente:

• Il dominio di questa funzione è l’intervallo [−4; 4].
• L’insieme immagine è l’intervallo [−2; 4].
• La funzione sembra crescente, ma nel tratto [0; 2] ha valore costante, quindi non può essere crescente. Tuttavia la funzione non scende in nessun intervallo, perciò è crescente in senso lato (non decrescente).
• Il grafico della funzione non è simmetrico né rispetto all’asse y né rispetto all’origine del sistema di riferimento, quindi la funzione non è né pari né dispari.
• La funzione è iniettiva? Abbiamo già detto che nel tratto [0; 2] la funzione ha valore costante, quindi non può essere iniettiva: per x diversi ha lo stesso y.
• La funzione è limitata sia superiormente sia inferiormente. Siamo in grado di trovare una retta orizzontale che stia sopra tutto il grafico e una che stia sotto tutto il grafico.
• La funzione data ha anche un minimo e un massimo. Il minimo è nel punto m = −4 e il massimo nel punto M = 4.