Radici

La radice è una funzione inversa parziale della potenza. Lavoriamo più spesso con la radice quadrata, che cerca quel numero che, moltiplicato per sé stesso, dà il numero originale di cui abbiamo estratto la radice.

Radice quadrata

Per la radice si usa il simbolo $\sqrt{}$; per non dover scrivere l’argomento della radice tra parentesi, così: $\sqrt{}$(25), sopra tutto l’argomento (l’espressione di cui vogliamo estrarre la radice) si traccia una linea orizzontale, così: $\sqrt{25}$.

All’inizio ci occupiamo solo della radice quadrata di un numero reale. La definiamo così:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Se moltiplichi la radice del numero a per la radice del numero a, ottieni il numero a. Quindi per il numero 9 la radice è uguale a 3, perché vale 3 · 3 = 9.

L’espressione precedente possiamo scriverla anche così:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

È solo un altro modo di scrivere la moltiplicazione precedente, cioè con una potenza.

Un fatto importante è che questa uguaglianza vale solo per quegli a che appartengono al dominio della radice. Vale infatti che non possiamo estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Possiamo estrarre la radice di qualsiasi numero positivo, possiamo estrarla da zero, ma non sappiamo estrarla da un numero negativo? Perché non si può?

Supponiamo di voler calcolare la radice di −25. Abbiamo in sostanza due possibilità per il numero da scegliere: positivo o negativo. Se scegliamo un numero positivo, abbiamo 5 · 5 = 25. Abbiamo ottenuto 25, ma noi vogliamo −25. Proviamo allora con −5; ma dopo la moltiplicazione otteniamo di nuovo 25. Insomma, se moltiplichi due numeri negativi, ottieni un numero positivo. Lo stesso accade se moltiplichi due numeri positivi. Dovresti moltiplicare −5 · 5 per ottenere −25, ma non si può: stai moltiplicando due numeri diversi, anche se differiscono solo per il segno. Perciò non si può calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

Radice n-esima

Come possiamo elevare un’espressione al quadrato, al cubo, alla quarta, possiamo avere anche la radice cubica, la radice quarta e infine la radice n-esima di un numero reale. L’indice si scrive di solito nell’apertura del segno di radice, così:

$$\sqrt[5]{32}$$

Questa scrittura indica la radice quinta del numero trentadue. La radice n-esima si definisce con la potenza n-esima così:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Se sostituiamo n con due, otteniamo la radice quadrata come l’abbiamo definita poco fa. In forma abbreviata potremmo definirla anche così:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Per convenzione, per la radice quadrata non occorre scrivere il due, quindi queste scritture sono equivalenti:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Per esempio, per la radice quarta varrebbe:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

E un esempio concreto:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

E viceversa vale 4 · 4 · 4 = 64.

Radice di un numero negativo

Sappiamo già che non esiste la radice quadrata di un numero negativo, perché a², dove a è un numero reale, non è mai negativo. Tuttavia, con le radici di indice maggiore non moltiplichiamo più solo due volte, quindi possono verificarsi casi in cui la radice n-esima di un numero negativo esiste. Come stanno le cose?

Il problema era che, moltiplicando due volte un numero negativo, si ottenga un numero positivo. Per il risultato −25 ci serviva il prodotto −5 · 5. Ma che cosa succede se moltiplichiamo tre numeri negativi? Dopo aver moltiplicato i primi due numeri negativi abbiamo un numero positivo. Ma dopo aver moltiplicato per l’ultimo numero negativo siamo di nuovo a un numero negativo. Se moltiplicassimo ancora una volta (in tutto quattro volte), torneremmo ai numeri positivi.

La lezione è questa: se moltiplichiamo n volte un numero negativo, quando n è pari il prodotto è positivo, quando è dispari il prodotto è negativo. Ne deduciamo che la radice n-esima di un numero negativo esiste quando n è dispari. Esempio:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Passaggio alla potenza

Le radici possiamo trasformarle facilmente in potenze, e lo si fa spesso, perché con le potenze si lavora meglio. Vale la relazione seguente:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Se abbiamo la radice n-esima di a, è come se elevassimo a alla 1/n. Questo ti può servire anche quando devi inserire da qualche parte una radice di indice maggiore di due. Spesso non si può farlo direttamente, ma nell’esponente si può inserire una frazione. Se vuoi far disegnare il grafico della radice quarta, fai disegnare il grafico della funzione

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Il passaggio più usato è quello della radice quadrata:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formule per le radici

Poiché la radice si può trasformare facilmente in potenza, le espressioni con radici ereditano le formule delle potenze in generale. Valgono quindi le relazioni seguenti:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Valgono inoltre queste relazioni fondamentali:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Trasporto di fattori fuori dal segno di radice

Il trasporto di fattori fuori dal segno di radice è una tecnica usata per semplificare le radici e sfrutta una delle formule precedenti:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Alcune espressioni sotto la radice si possono infatti scomporre in un prodotto, poi scrivere come due radici e infine estrarre la radice di una di esse. Un tipico esempio è questo:

$$\sqrt{4x}$$

Questa espressione possiamo riscriverla con la formula precedente così:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

E ora possiamo estrarre la radice del quattro:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

In modo simile possiamo riscrivere anche un semplice numero, se vogliamo mantenere la forma esatta. Ecco un esempio:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$