Sistemi di equazioni

Nella pratica capita spesso di non risolvere una sola equazione, ma due equazioni insieme (o anche di più). Per prima cosa vediamo come risolvere un sistema di equazioni con il metodo di sostituzione. Per la risoluzione dei sistemi di equazioni con le matrici passa all’articolo sui sistemi di equazioni lineari.

Le basi

Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che risolviamo insieme. In un sistema di solito abbiamo anche più di una variabile e cerchiamo una combinazione di numeri tale che, sostituendola a tutte le variabili, tutte le equazioni risultino vere.

Un esempio di sistema di equazioni è questo:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Il risultato di questo sistema dovrebbe essere una coppia (o un insieme di coppie) di numeri da sostituire alle variabili a e b, in modo che entrambe le equazioni restino valide. A occhio vediamo che la variabile a deve essere uguale a −b, affinché sia soddisfatta l’equazione a + b = 0. Con questa informazione, dalla seconda equazione vediamo facilmente che a = 10 e b = −10. Dopo la sostituzione otteniamo:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Bene, la soluzione a occhio è fatta; ora passiamo a qualche algoritmo vero e proprio per risolvere i sistemi di equazioni.

Metodo di sostituzione

Nel metodo di sostituzione ricaviamo una delle incognite da un’equazione e poi inseriamo il risultato nell’altra equazione. All’inizio ci serve quindi un sistema. Per esempio questo:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Questo è un semplice sistema di due equazioni in due incognite. Il nostro compito è trovare i valori delle variabili x e y in modo che entrambe le equazioni siano vere. Dalla prima equazione isoliamo y. Prendiamo quindi solo la prima equazione e isoliamo y.

$4 x + 2 y = 6$

Come prima cosa sottraiamo 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Dividiamo per due:

$y = 3 - 2 x$

Ora sappiamo a cosa è uguale y. Possiamo sostituire questo risultato alla variabile y nella seconda equazione. Nella seconda equazione scriviamo quindi 3 − 2x al posto di y. Che cosa otteniamo? Otteniamo che nella seconda equazione non avremo due variabili, ma una sola, perché al posto di y abbiamo messo un’espressione che contiene solo la variabile x. Sostituiamo dunque:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Ora eliminiamo la parentesi e sommiamo i termini simili:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Ora conosciamo il valore di x, che è uguale a due. Resta da calcolare il valore di y. Lo facciamo sostituendo il valore già noto di x in un’equazione che contiene entrambe le variabili, x e y. Possiamo scegliere per esempio la primissima equazione. Sostituiamo così:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Con questo abbiamo risolto il sistema. Il sistema di equazioni ha un’unica soluzione, cioè x = 2 e y = −1. Se vuoi verificare il risultato, basta sostituire in entrambe le equazioni. Ecco la sostituzione nella prima equazione:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

E la sostituzione nella seconda equazione:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Metodo di riduzione

Questo metodo lo preferisco, ma naturalmente dipende dal singolo esempio. Non sempre è comodo. Il principio del metodo di riduzione è che la somma di equazioni, nella risoluzione dei sistemi, è un principio di equivalenza. Sommiamo le equazioni sommando il primo membro di un’equazione con il primo membro dell’altra, e poi sommando i secondi membri. Prendiamo in generale un sistema di equazioni di questo tipo:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Sommando queste equazioni otterremmo una sola equazione definita così:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Abbiamo sommato separatamente i primi membri e separatamente i secondi membri. Ma qual è il nostro obiettivo? Se sommiamo due equazioni e ci restano due variabili, non ci serve a molto. Perciò cerchiamo di far sparire una variabile dopo la somma delle due equazioni, cioè di far sì che i termini si annullino a vicenda. Cerchiamo quindi di ottenere che la somma di una delle coppie di funzioni, o f o g, sia nulla:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Come ci arriviamo? Il sistema contiene normali equazioni, a cui possiamo applicare i principi di equivalenza, come li conosciamo dai tipi comuni di equazioni. Possiamo quindi moltiplicare una delle equazioni per un numero e la validità dell’equazione non cambia. Proviamo allora a risolvere il sistema precedente con il metodo di riduzione. Il testo è quindi lo stesso:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Se sommassimo subito le equazioni, ci resterebbero entrambe le variabili:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Perciò dobbiamo prima fare qualche trasformazione. Cercheremo di far «sparire» la variabile y. Per questo ci serve che il coefficiente davanti a y sia uguale nelle due equazioni, tranne che per il segno, che deve essere opposto. Cerchiamo quindi il minimo comune multiplo, che è 6. Un procedimento semplice è moltiplicare tra loro i coefficienti: due per tre fa sei – il numero sei è sicuramente divisibile per entrambi i numeri (nota: questo procedimento non garantisce il minimo comune multiplo, ma trova un numero divisibile per entrambi i coefficienti).

Ora vogliamo ottenere un sei davanti a y in ciascuna equazione. Moltiplichiamo quindi la prima equazione per tre, la seconda per due:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Otteniamo:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Ora sommiamo le equazioni:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Abbiamo così ottenuto un’equazione in una incognita, che sappiamo già risolvere facilmente:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vediamo che abbiamo ottenuto lo stesso risultato del metodo precedente, quello di sostituzione. Ora basterebbe di nuovo sostituire x in un’equazione e otterremmo il risultato y = −1. Anche la verifica si svolgerebbe esattamente allo stesso modo.

Numero delle soluzioni

Non è detto che un sistema di equazioni abbia una sola soluzione. Può avere anche infinite soluzioni, o al contrario nessuna. Ecco in breve quando succede. Se abbiamo due equazioni in due incognite e una di esse si può ottenere dall’altra applicando dei principi di equivalenza, allora il sistema ha infinite soluzioni. Ne è un esempio il sistema

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vediamo che se moltiplichiamo la prima equazione per due, otteniamo esattamente la seconda. La seconda equazione non ci dà quindi alcuna «informazione nuova» sul sistema, perciò è di fatto superflua. Nel complesso questo si manifesta così: qualsiasi soluzione dell’equazione

$x + y = 2$

è allo stesso tempo soluzione dell’intero sistema. Per esempio le coppie (1; 1) o (−3; 5) sono soluzioni della prima equazione e allo stesso tempo dell’intero sistema.

Il sistema non ha invece alcuna soluzione se contiene equazioni in contraddizione, che non possono valere insieme. Per esempio:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Non può valere contemporaneamente che la somma x + y sia uguale a due e a quattro, perciò il sistema non ha nessuna soluzione. Ancora qualche esempio:

Primo esempio

Risolvi il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Dando un’occhiata al sistema vediamo che è un candidato ideale per il metodo di riduzione. Il coefficiente di x nella seconda equazione è il doppio di quello nella prima equazione e il coefficiente di y nella seconda equazione è il triplo. Basta quindi moltiplicare la prima equazione per meno due oppure per meno tre e sommare le equazioni. Proviamo a eliminare per esempio la variabile x, quindi moltiplichiamo la prima equazione per −2. Otteniamo:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Sommiamo queste due equazioni e otteniamo

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Abbiamo il primo risultato del nostro sistema. Sostituiamo questo risultato in un’equazione; possiamo di nuovo sostituirlo nella primissima equazione:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Abbiamo così il risultato del sistema di equazioni, x = 9 e y = −14.

Secondo esempio

Risolvi il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Sembra un po’ complicato, ma si può fare. Prima di tutto dobbiamo eliminare le parentesi, senza questo non andiamo molto lontano.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Ora portiamo le equazioni in una forma più comoda: le variabili a primo membro e i termini noti a secondo membro, poi sommiamo i termini simili.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Da quelle equazioni dall’aspetto poco gradevole abbiamo ottenuto un sistema abbastanza utilizzabile e possiamo applicare uno dei procedimenti classici. Possiamo per esempio moltiplicare la seconda equazione per due e sommarla alla prima. Dopo aver moltiplicato la seconda equazione per due otteniamo:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Ora sommiamo le due equazioni con il classico metodo di riduzione:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Ottimo, conosciamo già un risultato. Sostituiamo questo risultato in una delle equazioni e calcoliamo y. Possiamo sostituire per esempio nell’equazione 2x− 3y = −13 e otteniamo:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Ora abbiamo il risultato completo del sistema di equazioni – la soluzione è x = 4 e y = 7.

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