割引からさらに割引

お店のセールで、「20%引き、さらに割引後の価格から20%引き」とうたっています。いくら得になるでしょうか。2つの割引を足して40%引きだと言いたくなりますが、実際には36%引きにしかなりません。

なぜ40%にならないのか

ポイントは、2回目の割引を何をもとに計算するかです。2回目の割引は、割引後の価格をもとに計算します。もとの価格ではありません。あとはふつうのパーセントの計算です。

10,000円のジャケットで考えてみましょう。まず、1回目の割引、つまり10,000円の20%を求めます。

$$\frac{20}{100}\cdot \mathrm{10,000}=\mathrm{2,000}$$

これをもとの価格から引きます。

$$\mathrm{10,000}-\mathrm{2,000}=\mathrm{8,000}$$

1回目の割引のあと、ジャケットは8,000円です。2回目の割引は、この新しい価格の20%です。

$$\frac{20}{100}\cdot \mathrm{8,000}=\mathrm{1,600}$$

これも引きます。

$$\mathrm{8,000}-\mathrm{1,600}=\mathrm{6,400}$$

ジャケットは6,400円になります。全部で

$$\mathrm{10,000}-\mathrm{6,400}=\mathrm{3,600}$$

円安くなりました。これはもとの10,000円のちょうど36%です。2回目の割引は、より小さい金額をもとに計算したので、2,000円ではなく1,600円しか安くなりませんでした。

かけ算で速く計算する

引き算はまったくしなくてもかまいません。20%引きなら、価格の100%から20%を引いた80%を払うので、価格に0.8をかければよいのです。2回目の割引は、さらにもう一度0.8をかけることになります。

$$0.8\cdot 0.8=0.64$$

もとの価格の64%を払うので、割引は100%から64%を引いた36%です。ジャケットの場合は次のようになります。

$$\mathrm{10,000}\cdot 0.64=\mathrm{6,400}$$

青は支払う価格、赤は最後の割引で安くなった分、灰色の破線は1回目の割引ですでになくなった分です。3本目の帯の赤い部分は、2本目より小さくなっています。どちらも20%引きなのに、短い帯をもとに計算しているからです。

もとの価格 c と、パーセントで表した任意の割引 a、b について、2回の割引後の価格は次のようになります。

$$c\cdot (1-\frac{a}{100})\cdot (1-\frac{b}{100})$$

おもしろいことに、割引の順序は関係ありません。10%引きのあと30%引きでも、30%引きのあと10%引きでも、価格は同じです。かけ算では交換法則が成り立つからです。お店がどんなに気前のよさをアピールしても、順序で得をすることはありません。

値上げと値下げ

20%値上げしてから20%値下げした商品にも、同じような落とし穴があります。値段がもとにもどったように思えます。ところが、20%の値上げは1.2をかけることなので、次のようになります。

$$1.2\cdot 0.8=0.96$$

価格はもとの96%になり、4%安くなります。50,000円のスマートフォンは、値上げ後に

$$\mathrm{50,000}\cdot 1.2=\mathrm{60,000}$$

円になります。20%引きは60,000円をもとに計算します。

$$\mathrm{60,000}\cdot 0.8=\mathrm{48,000}$$

スマートフォンは最終的に48,000円で、最初より2,000円安くなりました。本を使った同じような例は、パーセントの記事にあります。

計算ツール

2回割引したあとの価格は、計算ツールでも求められます。割引はパーセントで入力してください。

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