三角形の面積

三角形の面積は、おもに2つの方法で求められます。三角形を平行四辺形にして、その平行四辺形の面積を計算する方法と、ヘロンの公式を使う方法です。

平行四辺形にする

まず、直角三角形の場合に面積をどう計算したかを見てみましょう。三角形を補って長方形にし、その長方形の面積を計算して、結果を2で割りました。図で表すと、次のようになります。

しかし、直角三角形でない三角形は、このように簡単には長方形にできません。それでも、平行四辺形にすることはできます。次の三角形 ABC を考えます。

この三角形を平行四辺形にするには、点 C から、線分 AB に平行で同じ長さの線分を引きます。次に、点 A から、線分 BC に平行で同じ長さの線分を引きます。すると、次の平行四辺形ができます。

問題は、この平行四辺形の面積をどう計算するかです。長方形のように、となり合う2辺をかけることはできません。しかし、この平行四辺形から、同じ面積の長方形を簡単につくれます。次の赤で示した三角形は、同じ面積です。

三角形 AED を三角形 BFC の位置に移すと、同じ面積の長方形ができます。

これはもう長方形なので、面積はとなり合う2辺の長さの積に等しくなります。では、辺 AE や BF の長さはいくつでしょうか。太線で示したもとの三角形 ABC をよく見ると、辺 AE の長さは、頂点 C からの三角形の高さの長さに等しいことがわかります。したがって、この長方形の面積は次のようになります。

$$S_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

ここで h_c は頂点 C からの高さです。三角形の面積は、この面積の半分になります。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

面積の公式

前の節の公式は、もちろん3つの辺のどれを底辺にしても成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

ここで h_a、h_b、h_c は、それぞれ辺 a、b、c を底辺としたときの高さです。

ヘロンの公式

三角形の高さが1つもわからなくても、3つの辺の長さがすべてわかっていれば、ヘロンの公式で面積を計算できます。次の式が成り立ちます。

$$S_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

ここで

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

計算ツール：三角形の面積を計算する