Trekantens areal

Arealet af en trekant kan vi finde på to hovedmåder. Enten udvider vi trekanten til et parallelogram og beregner dette parallelograms areal, eller vi bruger Herons formel.

Udvidelse til et parallelogram

Først ser vi på, hvordan vi beregnede arealet af en trekant i tilfældet med en retvinklet trekant. Vi udvidede trekanten til et rektangel, beregnede dette rektangels areal og dividerede resultatet med to. Den følgende figur viser det grafisk:

Men en trekant, som ikke er retvinklet, kan vi ikke så let udvide til et rektangel. Til gengæld kan vi udvide den til et parallelogram. Lad os altså tage den følgende trekant ABC:

Denne trekant udvider vi til et parallelogram ved fra punktet C at tegne et linjestykke, der er parallelt med linjestykket AB og også lige så langt. Derefter tegner vi et linjestykke fra punktet A, så det er parallelt med linjestykket BC og lige så langt. Vi får dette parallelogram:

Spørgsmålet er, hvordan vi beregner arealet af dette parallelogram. Vi kan ikke gange to nabosider som i tilfældet med et rektangel. Men af dette parallelogram kan vi let lave et rektangel, der har samme areal som parallelogrammet. Det gælder, at de følgende rødt fremhævede trekanter har samme areal:

Hvis vi flytter trekanten AED over på trekanten BFC's plads, får vi et rektangel med samme areal:

Dette er allerede et rektangel, og dets areal er derfor lig med produktet af længderne af to nabosider. Men hvad er længden af siden AE eller BF? Når du kigger omhyggeligt på den fedt fremhævede oprindelige trekant ABC, opdager du, at længden af siden AE præcis svarer til længden af trekantens højde fra hjørnet C. Så hvad kan vi skrive om dette rektangels areal? At arealet er lig med:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

hvor h_c er højden fra hjørnet C. Trekantens areal er så lig med halvdelen af dette areal:

$$T=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Den endelige formel

Formlen fra det foregående afsnit kan vi selvfølgelig generalisere til en vilkårlig af de tre sider:

$$\begin{array}{rcl}T& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ T& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ T& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Her betegner h_a, h_b og h_c højderne på siderne a, b og c.

Herons formel

Hvis du ikke kender længden af nogen højde i trekanten, men kender længderne af alle sider, kan du beregne arealet med Herons formel. Der gælder, at:

$$T=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

hvor

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Beregner: beregn arealet af en trekant