Kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-alan voi selvittää kahdella pääasiallisella tavalla. Joko täydennämme kolmion suunnikkaaksi ja laskemme tämän suunnikkaan pinta-alan tai käytämme Heronin kaavaa.

Täydentäminen suunnikkaaksi

Katsotaan ensin, miten laskimme kolmion pinta-alan silloin, kun kyseessä oli suorakulmainen kolmio. Täydensimme kolmion suorakulmioksi, laskimme tämän suorakulmion pinta-alan ja jaoimme tuloksen kahdella. Graafisesti sen esittää seuraava kuva:

Kolmiota, joka ei ole suorakulmainen, ei kuitenkaan voi näin helposti täydentää suorakulmioksi. Mutta sen voi täydentää suunnikkaaksi. Olkoon siis seuraava kolmio ABC:

Täydennämme tämän kolmion suunnikkaaksi niin, että pisteestä C piirretään jana, joka on yhdensuuntainen janan AB kanssa ja yhtä pitkä. Sitten pisteestä A piirretään jana, joka on yhdensuuntainen janan BC kanssa ja yhtä pitkä. Saamme tämän suunnikkaan:

Kysymys on, miten lasketaan tämän suunnikkaan pinta-ala. Emme voi kertoa kahta vierekkäistä sivua kuten suorakulmiolla. Tästä suunnikkaasta voimme kuitenkin helposti tehdä suorakulmion, jonka pinta-ala on sama kuin suunnikkaalla. Seuraavat punaisella korostetut kolmiot ovat pinta-alaltaan yhtä suuret:

Jos siirrämme kolmion AED kolmion BFC paikalle, saamme suorakulmion, jonka pinta-ala on sama:

Tämä on jo suorakulmio, ja sen pinta-ala on siis kahden vierekkäisen sivun pituuksien tulo. Mutta mikä on sivun AE tai BF pituus? Kun katsot tarkasti lihavoitua alkuperäistä kolmiota ABC, huomaat, että sivun AE pituus vastaa täsmälleen kolmion kärjestä C piirretyn korkeusjanan pituutta. Mitä voimme siis kirjoittaa tämän suorakulmion pinta-alasta? Että pinta-ala on:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

missä h_c on kärjestä C piirretty korkeusjana. Kolmion pinta-ala on silloin puolet tästä pinta-alasta:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Lopullinen kaava

Edellisen luvun kaavan voi tietenkin yleistää mille tahansa kolmesta sivusta:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Tässä h_a, h_b ja h_c tarkoittavat sivuille a, b ja c piirrettyjä korkeusjanoja.

Heronin kaava

Jos et tunne kolmion yhdenkään korkeusjanan pituutta mutta tunnet kaikkien sivujen pituudet, voit laskea pinta-alan Heronin kaavalla. Pätee:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

missä

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Laskin: laske kolmion pinta-ala