A háromszög területe

A háromszög területét két fő módon határozhatjuk meg. Vagy paralelogrammává egészítjük ki a háromszöget, és kiszámítjuk ennek a paralelogrammának a területét, vagy a Hérón-képletet használjuk.

Kiegészítés paralelogrammává

Először nézzük meg, hogyan számoltuk ki a háromszög területét derékszögű háromszög esetén. A háromszöget téglalappá egészítettük ki, kiszámítottuk ennek a téglalapnak a területét, az eredményt pedig elosztottuk kettővel. Grafikusan ezt mutatja a következő ábra:

Csakhogy azt a háromszöget, amely nem derékszögű, nem egészíthetjük ki ilyen egyszerűen téglalappá. Paralelogrammává viszont kiegészíthetjük. Legyen tehát a következő ABC háromszög:

Ezt a háromszöget úgy egészítjük ki paralelogrammává, hogy a C pontból szakaszt húzunk, amely párhuzamos az AB szakasszal, és ugyanolyan hosszú. Ezután az A pontból húzunk szakaszt úgy, hogy párhuzamos legyen a BC szakasszal, és ugyanolyan hosszú. Ezt a paralelogrammát kapjuk:

A kérdés az, hogyan számítjuk ki ennek a paralelogrammának a területét. Nem szorozhatjuk össze két szomszédos oldalát, mint a téglalapnál. Ebből a paralelogrammából viszont egyszerűen készíthetünk olyan téglalapot, amelynek a területe megegyezik a paralelogramma területével. Az alábbi pirossal kiemelt háromszögek területe egyenlő:

Ha az AED háromszöget a BFC háromszög helyére toljuk, ugyanakkora területű téglalapot kapunk:

Ez már téglalap, a területe tehát két szomszédos oldala hosszának szorzata. De mekkora az AE vagy a BF oldal hossza? Ha figyelmesen megnézed az eredeti, vastagon kiemelt ABC háromszöget, rájössz, hogy az AE oldal hossza pontosan megegyezik a háromszög C csúcsból húzott magasságának hosszával. Mit írhatunk tehát ennek a téglalapnak a területéről? Hogy a területe:

$$T_{◻}=|m_c|\cdot |AB|,$$

ahol m_c a C csúcsból húzott magasság. A háromszög területe ennek a területnek a fele:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{|m_c|\cdot |AB|}{2}.$$

A végső képlet

Az előző fejezet képletét természetesen általánosíthatjuk a három oldal bármelyikére:

$$\begin{array}{rcl}{T}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|m_a|\cdot |a|}{2},\\ T_{\mathrm{△}}& =& \frac{|m_b|\cdot |b|}{2},\\ T_{\mathrm{△}}& =& \frac{|m_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Itt m_a, m_b és m_c az a, b és c oldalhoz tartozó magasságokat jelöli.

Hérón-képlet

Ha a háromszögben egyetlen magasság hosszát sem ismered, de mindhárom oldal hosszát ismered, a területet a Hérón-képlettel számíthatod ki:

$$T_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

ahol

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Számológép: számítsd ki a háromszög területét