Area av en triangel

Arean av en triangel kan vi bestämma på två huvudsakliga sätt. Antingen kompletterar vi triangeln till ett parallellogram och beräknar arean av det parallellogrammet, eller så använder vi Herons formel.

Komplettera till ett parallellogram

Först tittar vi på hur vi beräknade arean av en triangel när det gällde en rätvinklig triangel. Vi kompletterade triangeln till en rektangel, beräknade rektangelns area och delade resultatet med två. Följande figur visar det grafiskt:

En triangel som inte är rätvinklig kan vi dock inte så lätt komplettera till en rektangel. Men vi kan komplettera den till ett parallellogram. Vi utgår alltså från följande triangel ABC:

Vi kompletterar triangeln till ett parallellogram genom att dra en sträcka från punkten C som är parallell med sträckan AB och lika lång. Sedan drar vi en sträcka från punkten A som är parallell med sträckan BC och lika lång. Då får vi det här parallellogrammet:

Frågan är hur vi beräknar arean av parallellogrammet. Vi kan inte multiplicera två angränsande sidor som för en rektangel. Men av parallellogrammet kan vi lätt skapa en rektangel som har samma area. Följande rödmarkerade trianglar har nämligen lika stor area:

Om vi flyttar triangeln AED till platsen för triangeln BFC får vi en rektangel med samma area:

Det här är nu en rektangel, och dess area är lika med produkten av två angränsande sidors längder. Men hur lång är sidan AE eller BF? Om du tittar noga på den fetmarkerade ursprungliga triangeln ABC ser du att sidan AE har precis samma längd som triangelns höjd från hörnet C. Vad kan vi då skriva om rektangelns area? Att den är lika med

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

där h_c är höjden från hörnet C. Triangelns area är då hälften av den arean:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Slutlig formel

Formeln från föregående avsnitt kan vi förstås generalisera till vilken som helst av de tre sidorna:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Här är h_a, h_b och h_c höjderna mot sidorna a, b och c.

Herons formel

Om du inte känner till längden av någon höjd i triangeln men känner till längderna av alla sidor kan du beräkna arean med Herons formel. Då gäller att

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

där

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Miniräknare: beräkna arean av en triangel