Aire d’un triangle

On peut trouver l’aire d’un triangle de deux façons principales. Soit on complète le triangle en parallélogramme et on calcule l’aire de ce parallélogramme, soit on utilise la formule de Héron.

Compléter en parallélogramme

Regardons d’abord comment nous avons calculé l’aire d’un triangle dans le cas d’un triangle rectangle. Nous avons complété le triangle en rectangle, calculé l’aire de ce rectangle et divisé le résultat par deux. La figure suivante le montre :

Mais un triangle qui n’est pas rectangle ne se complète pas aussi facilement en rectangle. On peut en revanche le compléter en parallélogramme. Prenons donc le triangle ABC suivant :

Nous complétons ce triangle en parallélogramme de la façon suivante : du point C, on trace un segment parallèle au segment [AB] et de même longueur. Puis, du point A, on trace un segment parallèle au segment [BC] et de même longueur. On obtient ce parallélogramme :

La question est de savoir comment calculer l’aire de ce parallélogramme. On ne peut pas multiplier deux côtés consécutifs comme pour un rectangle. En revanche, on peut facilement transformer ce parallélogramme en un rectangle de même aire. Les deux triangles surlignés en rouge ci-dessous ont la même aire :

Si on déplace le triangle AED à la place du triangle BFC, on obtient un rectangle de même aire :

C’est maintenant un rectangle, et son aire est égale au produit des longueurs de deux côtés consécutifs. Mais quelle est la longueur du côté AE ou BF ? Si tu regardes attentivement le triangle ABC d’origine, en gras, tu constateras que la longueur AE correspond exactement à la longueur de la hauteur du triangle issue du sommet C. Que peut-on donc écrire pour l’aire de ce rectangle ? Qu’elle est égale à :

$${\mathcal{A}}_{◻}=h_c\times AB,$$

où h_c est la hauteur issue du sommet C. L’aire du triangle est alors égale à la moitié de cette aire :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{h_c\times AB}{2}.$$

Formule finale

On peut bien sûr généraliser la formule du chapitre précédent à n’importe lequel des trois côtés :

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_a\times a}{2},\\ {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_b\times b}{2},\\ {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_c\times c}{2}.\end{array}$$

Ici, h_a, h_b et h_c désignent les hauteurs relatives aux côtés a, b et c.

Formule de Héron

Si tu ne connais la longueur d’aucune hauteur du triangle, mais que tu connais les longueurs des trois côtés, tu peux calculer l’aire avec la formule de Héron. On a :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)},$$

où

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

est le demi-périmètre du triangle.

Calculatrice