Area del triangolo

L’area di un triangolo si può ricavare in due modi principali. Possiamo completare il triangolo a parallelogramma e calcolare l’area di questo parallelogramma, oppure usare la formula di Erone.

Completamento a parallelogramma

Vediamo prima come abbiamo calcolato l’area nel caso di un triangolo rettangolo. Abbiamo completato il triangolo a rettangolo, calcolato l’area di questo rettangolo e diviso il risultato per due. Lo mostra graficamente la figura seguente:

Un triangolo che non è rettangolo, però, non si può completare a rettangolo con la stessa facilità. Possiamo invece completarlo a parallelogramma. Prendiamo allora il seguente triangolo ABC:

Completiamo questo triangolo a parallelogramma così: dal punto C tracciamo un segmento parallelo al segmento AB e della stessa lunghezza. Poi dal punto A tracciamo un segmento parallelo a BC e della stessa lunghezza. Otteniamo questo parallelogramma:

Il problema è come calcolare l’area di questo parallelogramma. Non possiamo moltiplicare due lati consecutivi come nel caso del rettangolo. Tuttavia dal parallelogramma possiamo ricavare facilmente un rettangolo che abbia la stessa area. I due triangoli evidenziati in rosso hanno la stessa area:

Se spostiamo il triangolo AED al posto del triangolo BFC, otteniamo un rettangolo con la stessa area:

Questo è ormai un rettangolo e la sua area è uguale al prodotto delle lunghezze di due lati consecutivi. Ma quanto è lungo il lato AE o BF? Se osservi con attenzione il triangolo originale ABC evidenziato in grassetto, noterai che la lunghezza del lato AE corrisponde esattamente alla lunghezza dell’altezza del triangolo condotta dal vertice C. Che cosa possiamo dunque scrivere sull’area di questo rettangolo? Che l’area è uguale a:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

dove h_c è l’altezza condotta dal vertice C. L’area del triangolo è allora uguale alla metà di quest’area:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Formula finale

La formula del paragrafo precedente possiamo naturalmente generalizzarla a ciascuno dei tre lati:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Qui h_a, h_b e h_c indicano le altezze relative ai lati a, b e c.

Formula di Erone

Se non conosci la lunghezza di nessuna altezza del triangolo, ma conosci le lunghezze di tutti i lati, puoi calcolare l’area con la formula di Erone. Vale che:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$

dove

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

è il semiperimetro.

Calcolatore: calcola l’area del triangolo