Área de um triângulo

Podemos descobrir a área do triângulo por dois caminhos principais. Ou completamos o triângulo até um paralelogramo e calculamos a área desse paralelogramo, ou usamos a fórmula de Heron.

Completando até um paralelogramo

Primeiro vamos ver como calculamos a área do triângulo no caso de um triângulo retângulo. Completamos o triângulo até um retângulo, calculamos a área desse retângulo e dividimos o resultado por dois. A figura a seguir mostra isso graficamente:

Só que um triângulo que não é retângulo não pode ser completado tão facilmente até um retângulo. Mas podemos completá-lo até um paralelogramo. Então vamos supor o seguinte triângulo ABC:

Completamos esse triângulo até um paralelogramo traçando, a partir do ponto C, um segmento paralelo ao segmento AB e também do mesmo comprimento. Depois traçamos um segmento a partir do ponto A, de modo que seja paralelo ao segmento BC e do mesmo comprimento. Obtemos este paralelogramo:

A pergunta é como calculamos a área desse paralelogramo. Não podemos multiplicar dois lados adjacentes, como no caso do retângulo. No entanto, desse paralelogramo podemos criar facilmente um retângulo que terá a mesma área que o paralelogramo. Vale que os triângulos destacados em vermelho a seguir têm a mesma área:

Se deslocarmos o triângulo AED para o lugar do triângulo BFC, obtemos assim um retângulo com a mesma área:

Este já é um retângulo, e sua área é igual ao produto dos comprimentos de dois lados adjacentes. Só que qual é o comprimento do lado AE ou BF? Se você olhar com atenção para o triângulo original ABC, destacado em traço grosso, vai perceber que o comprimento do lado AE corresponde exatamente ao comprimento da altura do triângulo a partir do vértice C. Então o que podemos escrever sobre a área desse retângulo? Que a área é igual a:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

em que h_c é a altura a partir do vértice C. A área do triângulo é então igual à metade dessa área:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Fórmula final

Podemos, claro, generalizar a fórmula da seção anterior para qualquer um dos três lados:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Sendo que h_a, h_b e h_c indicam as alturas relativas aos lados a, b e c.

Fórmula de Heron

Se você não conhece o comprimento de nenhuma altura do triângulo, mas conhece os comprimentos de todos os lados, pode calcular a área com a fórmula de Heron. Vale que:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$

em que p é o semiperímetro:

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Calculadora: calcule a área do triângulo