Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορούμε να το βρούμε με δύο βασικούς τρόπους. Είτε συμπληρώνουμε το τρίγωνο σε παραλληλόγραμμο και υπολογίζουμε το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είτε χρησιμοποιούμε τον τύπο του Ήρωνα.

Συμπλήρωση σε παραλληλόγραμμο

Πρώτα θα δούμε πώς υπολογίσαμε το εμβαδόν του τριγώνου όταν επρόκειτο για ορθογώνιο τρίγωνο. Συμπληρώσαμε το τρίγωνο σε ορθογώνιο, υπολογίσαμε το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου και διαιρέσαμε το αποτέλεσμα με το δύο. Γραφικά το δείχνει η επόμενη εικόνα:

Ένα τρίγωνο όμως που δεν είναι ορθογώνιο δεν μπορούμε να το συμπληρώσουμε τόσο εύκολα σε ορθογώνιο. Μπορούμε όμως να το συμπληρώσουμε σε παραλληλόγραμμο. Ας πάρουμε λοιπόν το παρακάτω τρίγωνο ABC:

Συμπληρώνουμε αυτό το τρίγωνο σε παραλληλόγραμμο ως εξής: από το σημείο C φέρνουμε ένα τμήμα που θα είναι παράλληλο προς το τμήμα AB και θα έχει επίσης το ίδιο μήκος. Μετά φέρνουμε από το σημείο A ένα τμήμα που θα είναι παράλληλο προς το τμήμα BC και θα έχει το ίδιο μήκος. Παίρνουμε αυτό το παραλληλόγραμμο:

Το ερώτημα είναι πώς θα υπολογίσουμε το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου. Δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο διαδοχικές πλευρές όπως στο ορθογώνιο. Μπορούμε όμως εύκολα να φτιάξουμε από αυτό το παραλληλόγραμμο ένα ορθογώνιο με το ίδιο εμβαδόν με το παραλληλόγραμμο. Ισχύει ότι τα παρακάτω τρίγωνα, που είναι χρωματισμένα κόκκινα, έχουν το ίδιο εμβαδόν:

Αν μετακινήσουμε το τρίγωνο AED στη θέση του τριγώνου BFC, παίρνουμε έτσι ένα ορθογώνιο με το ίδιο εμβαδόν:

Αυτό πια είναι ορθογώνιο και το εμβαδόν του ισούται με το γινόμενο των μηκών δύο διαδοχικών πλευρών. Ποιο είναι όμως το μήκος της πλευράς AE ή BF; Αν παρατηρήσεις προσεκτικά το αρχικό τρίγωνο ABC, που είναι σχεδιασμένο με έντονη γραμμή, θα δεις ότι το μήκος της πλευράς AE αντιστοιχεί ακριβώς στο μήκος του ύψους του τριγώνου από την κορυφή C. Τι μπορούμε λοιπόν να γράψουμε για το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου; Ότι το εμβαδόν είναι ίσο με:

$$E_{◻}=|{\upsilon }_{\gamma }|\cdot |AB|,$$

όπου υ_γ είναι το ύψος από την κορυφή C. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τότε ίσο με το μισό αυτού του εμβαδού:

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{|{\upsilon }_{\gamma }|\cdot |AB|}{2}.$$

Ο τελικός τύπος

Τον τύπο της προηγούμενης ενότητας μπορούμε φυσικά να τον γενικεύσουμε για οποιαδήποτε από τις τρεις πλευρές:

$$\begin{array}{rcl}{E}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|{\upsilon }_{\alpha }|\cdot |\alpha |}{2},\\ E_{\mathrm{△}}& =& \frac{|{\upsilon }_{\beta }|\cdot |\beta |}{2},\\ E_{\mathrm{△}}& =& \frac{|{\upsilon }_{\gamma }|\cdot |\gamma |}{2}.\end{array}$$

Όπου υ_α, υ_β και υ_γ είναι τα ύψη προς τις πλευρές α, β και γ.

Ο τύπος του Ήρωνα

Αν δεν ξέρεις το μήκος κανενός ύψους του τριγώνου, αλλά ξέρεις τα μήκη όλων των πλευρών, μπορείς να υπολογίσεις το εμβαδόν με τον τύπο του Ήρωνα. Ισχύει ότι:

$$E_{\mathrm{△}}=\sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )},$$

όπου

$$\tau =\frac{\alpha +\beta +\gamma }{2}.$$

Αριθμομηχανή: υπολόγισε το εμβαδόν τριγώνου