三角形の外接円と内接円

どの三角形にも、外接する円と内接する円をかくことができます。外接円は三角形のすべての頂点を通り、内接円は三角形の3つの辺すべてに接します。

三角形の外接円

外接円とは、三角形のすべての頂点を通る円です。この円はいつも存在し、しかもただ1つです。したがって、一直線上にない3点を通る円はただ1つある、ともいえます。

三角形の外接円をかくには、辺の垂直二等分線を使います。辺 c の垂直二等分線は、辺 c に垂直で、しかも辺 c の中点 M_c を通る直線です。辺の中点の求め方は、中線の作図のところで説明しています。中点がわかれば、そこを通る垂線を引くと、辺の垂直二等分線になります。

どの三角形にも辺が3つあるので、辺の垂直二等分線も3本あります。この3本の垂直二等分線は1つの点で交わり、この点をふつう O で表します。この点が外接円の中心です。手順は次のとおりです。まず、外接円をかきたい三角形が1つあるとします。

はじめに、3つの辺の垂直二等分線をすべてかきます。つまり、3つの辺の中点を求め、それぞれの中点を通る垂線を引きます。

あとは円をかくだけです。外接円はすべての頂点を通るので、半径は簡単にわかります。中心 O からどれか1つの頂点までの距離です。

内接円

三角形の3つの辺すべてに接する、つまりどの辺とも共有点をただ1つもつ円を、三角形の内接円といいます。内接円の中心を求めるには、角の二等分線を使います。角の二等分線については、別の記事で説明しています。内接円の中心は、3本の角の二等分線の交点にあります。まず、三角形の3つの角の二等分線をかきます。

交点 I が内接円の中心です。次に半径を求めます。点 I から、どれか1つの辺に垂線を下ろします。

線分 IP_c の長さが、内接円の半径に等しくなります。あとは円をかくだけです。