Flächeninhalt des Dreiecks

Den Flächeninhalt eines Dreiecks können wir auf zwei Hauptarten bestimmen. Entweder ergänzen wir das Dreieck zu einem Parallelogramm und berechnen dessen Flächeninhalt, oder wir verwenden die heronsche Formel.

Ergänzung zum Parallelogramm

Zuerst schauen wir uns an, wie wir den Flächeninhalt eines Dreiecks beim rechtwinkligen Dreieck berechnet haben. Wir haben das Dreieck zu einem Rechteck ergänzt, den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnet und das Ergebnis durch zwei geteilt. Grafisch zeigt das die folgende Abbildung:

Ein Dreieck, das nicht rechtwinklig ist, können wir aber nicht so einfach zu einem Rechteck ergänzen. Wir können es jedoch zu einem Parallelogramm ergänzen. Nehmen wir also das folgende Dreieck ABC:

Dieses Dreieck ergänzen wir zu einem Parallelogramm, indem wir vom Punkt C eine Strecke ziehen, die parallel zur Strecke AB und ebenso lang ist. Dann ziehen wir vom Punkt A eine Strecke, die parallel zur Strecke BC und ebenso lang ist. Wir erhalten dieses Parallelogramm:

Die Frage ist, wie wir den Flächeninhalt dieses Parallelogramms berechnen. Wir können nicht einfach zwei benachbarte Seiten multiplizieren wie beim Rechteck. Wir können aus diesem Parallelogramm aber leicht ein Rechteck machen, das denselben Flächeninhalt hat wie das Parallelogramm. Die folgenden rot hervorgehobenen Dreiecke haben denselben Flächeninhalt:

Wenn wir das Dreieck AED an die Stelle des Dreiecks BFC verschieben, erhalten wir ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt:

Das ist nun ein Rechteck, und sein Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Längen zweier benachbarter Seiten. Aber wie lang ist die Seite AE oder BF? Wenn du dir das fett hervorgehobene ursprüngliche Dreieck ABC genau ansiehst, erkennst du, dass die Länge der Seite AE genau der Länge der Höhe des Dreiecks von der Ecke C aus entspricht. Was können wir also über den Flächeninhalt dieses Rechtecks schreiben? Er ist gleich:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

wobei h_c die Höhe von der Ecke C aus ist. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann gleich der Hälfte dieses Flächeninhalts:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Die endgültige Formel

Die Formel aus dem vorigen Abschnitt können wir natürlich auf jede der drei Seiten verallgemeinern:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Dabei bezeichnen h_a, h_b und h_c die Höhen zu den Seiten a, b und c.

Heronsche Formel

Wenn du die Länge keiner Höhe im Dreieck kennst, aber die Längen aller Seiten, kannst du den Flächeninhalt mit der heronschen Formel berechnen. Es gilt:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

wobei

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Rechner: Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks