Aria triunghiului

Aria triunghiului o putem afla în două moduri principale. Fie completăm triunghiul până la paralelogram și calculăm aria acestui paralelogram, fie folosim formula lui Heron.

Completarea până la paralelogram

Mai întâi ne uităm cum am calculat aria în cazul triunghiului dreptunghic. Am completat triunghiul până la dreptunghi, am calculat aria acestui dreptunghi și am împărțit rezultatul la doi. Grafic, arată așa:

Dar un triunghi care nu este dreptunghic nu-l putem completa atât de simplu până la dreptunghi. Îl putem însă completa până la paralelogram. Fie deci triunghiul ABC:

Completăm acest triunghi până la paralelogram astfel: din punctul C ducem un segment paralel cu segmentul AB și de aceeași lungime. Apoi ducem din punctul A un segment paralel cu segmentul BC și de aceeași lungime. Obținem acest paralelogram:

Întrebarea este cum calculăm aria acestui paralelogram. Nu putem înmulți două laturi alăturate ca în cazul dreptunghiului. Putem însă transforma ușor acest paralelogram într-un dreptunghi cu aceeași arie ca a paralelogramului. Triunghiurile evidențiate mai jos cu roșu au aceeași arie:

Dacă mutăm triunghiul AED în locul triunghiului BFC, obținem un dreptunghi cu aceeași arie:

Acesta este deja un dreptunghi, iar aria lui este egală cu produsul lungimilor a două laturi alăturate. Dar care este lungimea laturii AE sau BF? Dacă te uiți atent la triunghiul inițial ABC, desenat îngroșat, vei vedea că lungimea laturii AE corespunde exact lungimii înălțimii triunghiului din vârful C. Ce putem scrie deci despre aria acestui dreptunghi? Că este egală cu:

$${\mathcal{A}}_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

unde h_c este înălțimea din vârful C. Aria triunghiului este atunci egală cu jumătate din această arie:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Formula finală

Formula din capitolul precedent o putem, desigur, generaliza pentru oricare dintre cele trei laturi:

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Aici h_a, h_b și h_c sunt înălțimile corespunzătoare laturilor a, b și c.

Formula lui Heron

Dacă nu cunoști lungimea niciunei înălțimi a triunghiului, dar cunoști lungimile tuturor laturilor, poți calcula aria cu ajutorul formulei lui Heron:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$

unde p este semiperimetrul triunghiului:

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Calculator: calculează aria triunghiului