Área de un triángulo

El área de un triángulo se puede hallar de dos maneras principales. O bien completamos el triángulo hasta un paralelogramo y calculamos el área de ese paralelogramo, o bien usamos la fórmula de Herón.

Completar hasta un paralelogramo

Primero veamos cómo calculábamos el área de un triángulo en el caso del triángulo rectángulo. Completamos el triángulo hasta un rectángulo, calculamos el área de ese rectángulo y dividimos el resultado entre dos. Gráficamente lo muestra la siguiente figura:

Pero un triángulo que no es rectángulo no se puede completar tan fácilmente hasta un rectángulo. Sí podemos, en cambio, completarlo hasta un paralelogramo. Tomemos, pues, el siguiente triángulo ABC:

Completamos este triángulo hasta un paralelogramo así: desde el punto C trazamos un segmento paralelo al segmento AB y de la misma longitud. Después trazamos un segmento desde el punto A de modo que sea paralelo al segmento BC y de la misma longitud. Obtenemos este paralelogramo:

La cuestión es cómo calculamos el área de este paralelogramo. No podemos multiplicar dos lados contiguos como en el caso del rectángulo. Sin embargo, de este paralelogramo podemos formar fácilmente un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo. Los siguientes triángulos resaltados en rojo tienen la misma área:

Si desplazamos el triángulo AED al lugar del triángulo BFC, obtenemos así un rectángulo con la misma área:

Esto ya es un rectángulo, y su área es igual al producto de las longitudes de dos lados contiguos. Pero ¿cuál es la longitud del lado AE o BF? Si miras con atención el triángulo original ABC, resaltado en negrita, verás que la longitud del lado AE coincide exactamente con la longitud de la altura del triángulo desde el vértice C. Entonces, ¿qué podemos escribir sobre el área de este rectángulo? Que el área es igual a:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

donde h_c es la altura desde el vértice C. El área del triángulo es entonces igual a la mitad de esta área:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Fórmula final

La fórmula del capítulo anterior se puede generalizar, por supuesto, a cualquiera de los tres lados:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Donde h_a, h_b y h_c son las alturas correspondientes a los lados a, b y c.

Fórmula de Herón

Si no conoces la longitud de ninguna altura del triángulo, pero conoces las longitudes de todos los lados, puedes calcular el área con la fórmula de Herón. Se cumple que:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

donde

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Calculadora: calcula el área del triángulo